Euclide dimostra l’infinità dei numeri primi. Roba per palati fini …


Riprendiamo il post di ieri per illustrare il raffinatissimo processo di dimostrazione per assurdo usato da Euclide per provare che i numeri primi sono infiniti.

Euclide partì da questa ipotesi: supponiamo che i numeri primi siano finiti.

Ora, noi non sappiamo quanti siano questi numeri primi, possono essere decine, centinaia, migliaia o milioni. Usiamo al posto di questa cifra incognita il simbolo N.

Affermare una cosa del genere, vuol dire che esiste un numero N grande a piacere di numeri primi, in ordine crescente:

p1, p2, p3, p4, ….., pN

dove pN è il numero primo più grande di tutti. Un numero più grande di una serie è detto in matematica, massimo.
Possiamo quindi riscrivere la nostra ipotesi in modo formale:

IPOTESI: pN è il massimo dei numeri primi

Euclide osserva una cosa: se fattorizziamo un numero, ad esempio 42 = 7 x 3 x 2 ed aggiungiamo 1 a questo numero, la divisione per ciascuno dei suoi fattori darà sempre resto 1. Facciamo la prova:

43 = 7 x 3 x 2 + 1

ora, se proviamo a dividere 43 per uno dei fattori di 42, otteniamo sempre resto 1:

43 / 7 = 6 con resto di 1 (nota: 6 = 3 x 2)

43 / 3 = 14 con resto di 1 (nota: 14 = 7 x 2)

43 / 2 = 21 con resto di 1 (nota: 21 = 7 x 3)

osservate come la divisione ha sempre resto 1 e vale sempre il prodotto dei restanti fattori. Ecco, pensiamo a questo procedimento come ad un ferro del mestiere, Euclide si è appena costruito un postulato da usare quando fa comodo, come vedremo a breve (dovremmo usare un procedimento più raffinato ad essere precisi, ma per ora va bene così, lo vedremo in seguito).

Torniamo ora alla lista dei nostri numeri primi che, per ipotesi, abbiamo detto essere finiti e moltiplichiamoli tutti tra di loro:

P = p1 x p2 x p3 x p4 x ….x pN

Non c’è dubbio che il numero P ottenuto per prodotto è maggiore di ciascuno dei numeri, e, in particolare del massimo di essi:

P > pN

a maggior ragione se aggiungiamo 1:

P + 1 > pN

Euclide, a questo punto, tira fuori un altro ferro del mestiere dalla borsa del matematico che va sotto il nome di

teorema fondamentale dell’aritmetica: un numero o è primo o è ottenuto dal prodotto di numeri primi.

Bene, allora ci sono due possibilità:

1. P + 1 è un numero primo.
Abbiamo dimostrato però che P + 1 > pN, ma ciò contraddice la nostra ipotesi che pN sia il massimo dei numeri primi. Ne consegue che, se P + 1 è primo, allora pN non è il massimo dei numeri primi.
Abbiamo anche dimostrato che la nostra ipotesi è la scrittura formale dell’affermazione “i numeri primi sono finiti”. Allora, visto che abbiamo ottenuto una contraddizione, deve essere vero il contrario, ovvero che la nostra ipotesi è falsa e i numeri primi sono infiniti.

2. P + 1 è un numero composto.
Se P + 1 è un numero composto, deve essere per forza divisibile per un divisore. Ma abbiamo visto che, per costruzione, P + 1 non può essere diviso né da p1, né da p2, né da pN, perché la divisione di un numero così costruito per questi fattori da sempre resto 1.
Se P + 1 è composto, allora deve esistere un altro numero primo pM che deve essere forzatamente maggiore di pN perché diverso da tutti gli altri primi. Ecco, qui Euclide usa il postulato che si è appena costruito sopra, esattamente come un meccanico usa una chiave inglese per smontare la testata di un motore.
Ma se pM > pN allora vuol dire che pN non è il massimo dei numeri primi e, quindi di nuovo, che la nostra ipotesi è falsa e che i numeri primi sono infiniti.

Euclide dimostra che, supponendo che i numeri primi siano finiti, si ottiene sempre una contraddizione e, quindi, che i numeri primi devono essere necessariamente infiniti.

Al di là della brillante dimostrazione, ancor più soprendente se si pensa che è stata concepita ventidue secoli fa, la grande lezione che ci consegna Euclide è nel metodo: costruire risultati di scienza a partire da mattoncini elementari ed usarli per estendere la propria conoscenza, in modo formale e provato.

Di questo, dovremmo fare tesoro nella vita di tutti i giorni.

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8 risposte a Euclide dimostra l’infinità dei numeri primi. Roba per palati fini …

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  4. lalla78 ha detto:

    che meraviglia L’Assurdo!!!!!

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