Un grande classico della matematica ricreativa: i Quadrati Magici


Proseguiamo il nostro omaggio a Martin Gardner riprendendo l’interessante argomento dei Quadrati Magici, apparso in Enigmi e Giochi Matematici vol.2.

Un quadrato magico è una griglia, quadrata appunto, di caselle contente i numeri in ordine crescente (o progressione aritmetica), disposti in modo tale che la loro somma per righe, colonne e diagonali sia pari ad un numero fisso, detto Costante Magica.

La prima testimonianza storica di quadrato magico è il Lo Shu, riconducibile alla temibile esondazione del fiume Lo, nel 2800 aC. Si narra che un bambino trovò una tartaruga con inciso un quadrato magico di ordine 3×3, simbolo dell’armonia universale. Da allora, le successive testimonianze storiche sono tutte ricondotte ad aspetti cabalistici e “magici” in generale. Non è una sorpresa, quindi, che appaiano quadrati magici anche nell’arte, come nel caso dell’incisione di Albrecht Durer “Malinconia I”.

Al di là degli aspetti esoterici, in matematica ricreativa i quadrati magici si prestano bene allo scopo divulgativo perché consentono di introdurre in modo progressivo concetti di base di uso generico. Innanzitutto, diamone una definizione più rigorosa.

Il primo passo da compiere è di dare una definizione generale, sostituendo quindi il valore generico N, alla dimensione orizzontale o verticale del quadrato. Questo valore è detto ordine.

Si dice quadrato magico una matrice quadrata NxN contenente tutti i numeri naturali in progressione aritmetica da 1 a N^2, in modo tale che la loro somma sia costante, per righe colonne e diagonali.

Ad esempio, un quadrato magico 3×3 è detto avere ordine 3, e contiene tutti i numeri interi da 1 a 3^2 = 9.

Determiniamo ora la costante magica: abbiamo detto che la somma deve essere uguale in tutte le righe e in tutte le colonne, diagonali incluse e, quindi, la costante magica è pari alla somma dei valori contenuti nel quadrato magico diviso per il numero di righe del quadrato stesso. Nel caso di un quadrato di 3×3 la costante deve essere pari alla somma dei primi 9 numeri (45), divisa per le righe, cioè 3, per un totale di 15. Con poche addizioni si può verificare facilmente che la somma delle righe, colonne e diagonali del Lo Shu è proprio 15.

Saremmo in grado di determinare il valore della costante magica per il generico ordine N ? Abbiamo evidentemente una difficoltà: non possiamo sommare i numeri come abbiamo fatto prima, perché non sappiamo quando fermarci. Abbiamo bisogno quindi di tirare fuori un ferro del mestiere dalla nostra borsa degli attrezzi del matematico.

Pensate, la leggenda vuole che questa formula fu scoperta da un bambino di nome Karl Friedrich Gauss, alla fine del XVIII secolo. Si dice che Gauss, a 9 anni, fosse stato messo in punizione dal maestro e costretto a sommare i numeri da 1 a 100. Il piccolo Carl si presentò con la soluzione dopo pochi minuti, perché aveva scoperto da solo proprio la formula che stiamo cercando: la somma dei primi N numeri naturali è pari a N x (N+1) / 2.

Va da sè che Gauss è stato un bambino decisamente speciale: definito il principe dei matematici, come Eulero, dimostrò il Teorema fondamentale dell’Aritmetica (è un ferro del mestiere che abbiamo già nella nostra borsa, ne parlammo tempo fa) e fece fare all’umanità balzi da gigante in materia di teoria dei numeri, ottica, magnetismo, algebra e molto altro.
Per ora, prendiamo la formula di Gauss per buona, ringraziamo per il nuovo ferro del mestiere che ci ha appena regalato e che custodiremo gelosamente nella nostra borsa degli attrezzi matematici. Un mio carissimo professore di informatica all’Università una volta mi disse: “un principio si compra, si incarta e si porta a casa. Una volta che hai capito se ti serve e che funziona bene, puoi dimostrartelo con tutto comodo”.

Ecco, noi ci compriamo la formula del bimbo Carl Friedrich e ce la portiamo a casa. Ne parleremo in un post successivo.

La progressione aritmetica di un quadrato magico conta N^2 numeri, basta quindi sostituire N^2 alla formula di Gauss e si ottiene:

1 + … + N^2 = N^2 x (N^2 +1) / 2

ma, ricordate, per ottenere la costante magica occorre dividere per N. Prima di continuare, usiamo un formalismo più compatto, rimuovendo il simbolo x per indicare la moltiplicazione, i matematici “veri” fanno così, perché non iniziamo a farlo anche noi ?

Dunque, abbiamo detto che per calcolare la costante magica C(N) di un quadrato magico di ordine N dobbiamo sommare tutti i numeri in esso contenuti e dividere per il numero di righe, proprio N, ovvero:

C(N) = N^2(N^2+1) / 2N

semplificando:

C(N) = (N^3+N)/2

Ad essere precisi, abbiamo calcolato la formula dando per buona una ipotesi: e cioè che se determiniamo la somma per righe, questa deve essere necessariamente uguale anche per le colonne. Accontentiamoci per ora, anche se dovremmo usare un procedimento un pò più sofisticato.

La figura seguente mostra alcuni quadrati magici e la costante magica associata, potete divertirvi a verificare che la somma delle righe e colonne è effettivamente il numero riportato sotto.

Interessante, no ? Al lettore volenteroso, chiediamo se esiste un quadrato magico di ordine 2.

Ma come si fa a costruire un quadrato magico ? Continuate a seguire il blog …

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4 risposte a Un grande classico della matematica ricreativa: i Quadrati Magici

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