Soluzione al quesito di ieri: la somma dei primi N numeri.


Nel post di ieri, abbiamo visto come Gauss – a soli nove anni – sia stato in grado di determinare la somma dei primi 100 numeri naturali senza eseguire 100 somme.

Generalizzando il risultato ottenuto da Gauss, possiamo dire quindi che la somma dei primi N numeri è pari a N(N+1)/2. Ad essere precisi dovremmo usare un procedimento più sofisticato per dimostrare che, effettivamente, la formula valga per N qualsiasi ma, di nuovo, accontentiamoci per ora. Vedremo tutte queste cose in seguito. Per ora, ma lo abbiamo già fatto, mettiamo un nuovo “ferro del mestiere” nella nostra borsa degli attrezzi matematici:

1 + 2 + 3 + … + N = N(N+1)/2

ci capiterà sicuramente di usarlo di nuovo.

Vediamo oggi, ancora una volta, come sia possibile risolvere un problema semplicemente osservandolo da un punto di vista diversa. Vogliamo dimostrare che è si può ricavare la formula della somma dei primi N numeri in altro modo e, per estensione, che i modi di risolvere un problema sono estremamente variegati.

La figura seguente mostra i primi 6 numeri disposti in modo geometrico, ad ogni unità corrisponde una casella, i totali in basso rappresentano il conteggio delle caselle rosse per colonna.

Osservate il rettangolo di caselle rosse e bianche: la somma dei primi 6 numeri è pari al numero di caselle rosse.

Abbiamo costruito il rettangolo in modo tale che le caselle rosse siano esattamente pari alle caselle bianche, cioè in modo da occupare esattamente metà rettangolo. Ma di quante caselle è formato il nostro rettangolo ? Facile risposta: 6 x 7 = 42.

E quante sono le caselle rosse ? Ancor più facile: 6 x 7 / 2 = 21. Da qui, si ottiene la somma cercata, pari alla metà dell’area di un rettangolo di lati N e N+1. Ad essere precisi dovremmo dimostrare la formula per N generico in modo più sofisticato, ma ci torneremo su in seguito.

In conclusione, esistono molti modi di approcciare un problema, sta alla nostra intuizione ed immaginazione trovare quello che renda il problema più semplice. Intuizione ed immaginazione … allora la matematica non deve essere poi così arida !

Un ulteriore quesito per il lettore volenteroso: sareste in grado di trovare per quale/i N la somma dei primi N numeri naturali è dispari ?

LidiMatematici va in pausa e torna il 9 dicembre.

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8 risposte a Soluzione al quesito di ieri: la somma dei primi N numeri.

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  4. Antonio ha detto:

    Questo aneddoto su Gauss me lo raccontava spesso mia nonna quando ero bambino, bei ricordi!
    I valori di N che danno come risultato un numero dispari sono quelli tali che né N né N+1 siano divisibili per 4.
    Infatti a numeratore abbiamo sempre il prodotto tra un numero pari e un numero dispari, N(N+1). Se il numero pari non è multiplo di quattro la parità non sopravvive alla divisione per 2.
    Se D è un qualsiasi numero dispari allora N=2D ed N=2D-1 danno come risultato un numero dispari, mentre per N=2D+1 o per N=2D+2 si ottiene un numero pari.

    • lidimatematici ha detto:

      Grazie Antonio ! Avere una nonna cosí deve essere stato un vero priviliegio. Era insegnante ?
      Complimenti per il tuo sito, il tuo lavoro è una mia passione …

      • Antonio ha detto:

        Sì, ha insegnato matematica al liceo Tasso di Salerno. Era una donna piena di interessi, oltre alla matematica amava la poesia e la letteratura. Recentemente è uscito un libro che racconta la storia d’amore, intensa e fuori dagli schemi, tra lei e mio nonno, che era un suo alunno del liceo.
        Grazie per i complimenti, potrei usare esattamente le stesse parole per te, visto che la matematica, e più ancora la fisica, è una mia passione.
        In Italia c’è un grande bisogno di persone come te, che sappiano diffondere la cultura scientifica in modo semplice e affascinante.

  5. lidimatematici ha detto:

    Si, è veramente complesso fare divulgazione. Pensa che in molti aggregatori di blog la categoria “scienze” neanche esiste. Le tue parole sono di incoraggiamento e, assieme alle tante testimonianze di apprezzamento mi consentono di mantenere il “momentum” e continuare a reggere il blog in solitaria.
    Dimmi per cortesia il titolo del libro, ho incontrato questa storia per caso e mi piacerebbe sapere di piú su questa donna eccezionale che parlava ai propri nipotini di Gauss !
    Carlo

    • Antonio ha detto:

      “La luna a strisce” di Lucia Amendola, editore Guida.
      Non è facilissimo trovarlo in libreria ma puoi acquistarlo su ibs o comunque on line.
      Se dovessi leggerlo mi piacerebbe avere un tuo parere.
      Vedrai che ha molto a che fare con la matematica, che ha l’insolito ruolo di Cupido nella storia d’amore tra i protagonisti. Nell’intreccio delle vicende di cui si narra compaiono anche personaggi come Renato Caccioppoli ed Ettore Majorana.

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