Ancora sull’infinito: un po’ di ferri del mestiere (parte 1).


Nei post precedenti abbiamo introdotto i concetti base di insieme, cardinalità e relazione. Abbiamo anche applicato questi strumenti per  esplorare i problemi inerenti alla cardinalità degli insiemi infiniti, dimostrando che i numeri pari sono tanti quanti i naturali.
E’ necessario fare un piccolo passo verso un formalismo un pò più rigoroso, che ci consentirà di esprimere i concetti in modo più compatto e meno ambiguo.
Riprendiamo innanzitutto il concetto di relazione. Una relazione, detta anche applicazione o funzione tra due insiemi è un oggetto f che mappa elementi di un insieme A in un altro insieme B, e si indica con

f : A -> B

A è detto dominio e B è detto codominio della relazione f.

L’insieme degli elementi distinti in B ottenuti applicando f ad A è detto immagine di A secondo f. L’immagine di una relazione si ottiene semplicemente applicando la relazione stessa a tutti gli elementi di A. Tale immagine è, chiaramente, un sottoinsieme del codominio, come nella figura.

Usando il formalismo matematico, l’immagine di una relazione f è definita così:

f(A) = {b B | b = f(a) per ogni a A}

Immaginate di prendere una relazione, come ad esempio quella genitore-figlio dell’esempio scorso.

Ci interessano tre casi particolari, e nel seguito del post capiremo il perché:

  • se elementi diversi di A sono legati ad elementi diversi di B mediante la relazione f, allora questa si dice iniettiva.
  • se applicando f a tutto l’insieme A (che, lo ricordiamo, è il suo dominio) si ottiene esattamente l’insieme B (il codominio), allora la relazione si dice suriettiva.
  • se sussistono entrambe le relazioni, allora la relazione si dice biettiva.

Ripetiamo: una funzione iniettiva non mappa due volte un elemento di A in uno di B ed una suriettiva mappa invece tutto A in B. Facciamo un esempio pratico tornando sulla relazione genitore-figlio:

In questo caso, la relazione genitore ha come dominio l’insieme G dei genitori e come codominio l’insieme F dei figli. La relazione è iniettiva ? Suriettiva ? E biettiva ?

Lo vediamo domani …

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4 risposte a Ancora sull’infinito: un po’ di ferri del mestiere (parte 1).

  1. wildestwoman ha detto:

    Interessante blog.
    Sempre utile scrivere e diffondere concetti matematici in modo accattivante e divulgativo.
    Una prof. di matematica.
    WW

  2. Pingback: Ancora sull’infinito: un po’ di ferri del mestiere (parte 2). | LidiMatematici

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