Ancora sull’infinito: un po’ di ferri del mestiere (parte 2).


Siamo rimasti in sospeso con la relazione genitori-figli: è suriettiva perché mappa l’intero codominio, di questo si ha evidenza nel grafico perché tutti gli elementi di F hanno un arco entrante.
La relazione è iniettiva ? No, perché per essere iniettiva elementi diversi di G dovrebbero mappare ad elementi diversi di F. Così non è perché ci sono due genitori diversi che hanno lo stesso figlio.

Diciamo la stessa cosa mediante il formalismo matematico, f è detta:
•    iniettiva se a = b <=> f(a) = f(b) per ogni a, b  A
•    suriettiva se f(A) = B
•    biettiva se f è suriettiva ed iniettiva

Se f è biettiva si dice anche corrispondenza uno a unocorrispondenza biunivoca (sono tutte definizioni equivalenti).

Ricordate la definizione alternativa di cardinalità che abbiamo dato qualche post addietro? La grande intuizione di Cantor fu di contare la cardinalità degli insiemi stabilendo classi di relazioni tra i loro elementi. In questo senso, quando affermiamo che due insiemi hanno la stessa cardinalità, diciamo in realtà che esiste una corrispondenza biunivoca tra di essi.

Insiemi che hanno stessa cardinalità, si dicono equipotenti. Gli insiemi equipotenti all’insieme dei numeri naturali N si dicono enumerabili.

Abbiamo visto la volta scorsa che gli insiemi dei numeri naturali pari e dispari sono enumerabili perché esistono due relazioni biunivoche con i numeri naturali (f(n) = 2n per i numeri pari e f(n) = 2n+1 per i dispari ).

Abbiamo avuto bisogno di introdurre questa parentesi formale per riportare in modo più sintetico l’interessante risultato di Cantor: esistono insiemi infiniti non enumerabili, ovvero per cui non è possibile stabilire una relazione biunivoca con l’insieme dei numeri naturali.

Ma allora, se R è un insieme infinito non enumerabile, cioé non è possibile stabilire una relazione di corrispondenza biunivoca con l’insieme N dei naturali, vuol dire che l’insieme R è “più infinito” di N. Cantor non solo dimostrò che insiemi di questo tipo esistono, come ad esempio i numeri reali, ma che esiste una intera gerarchia di infiniti il cui primo gradino è proprio l’infinito dei numeri naturali, che Cantor identificò con la prima lettera dell’alfabeto ebraico aleph con pedice 0 (zero) o aleph-zero.

Ci torneremo, ovviamente, in seguito.

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2 risposte a Ancora sull’infinito: un po’ di ferri del mestiere (parte 2).

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