Il Cannone di Gauss (parte 2)


Nel post precedente abbiamo realizzato un giocattolino magnetico niente male: il Cannone di Gauss.

Abbiamo visto che il sistema di biglie e magneti è realizzato in modo tale da accrescere l’energia cinetica delle biglie fino ad ottenere una velocità di fuga dell’ultima biglia apprezzabile.

Nel modellare il sistema, abbiamo stabilito una serie di approssimazioni di non poco conto. Altra approssimazione necessaria è che il magnete sia assimilabile ad un dipolo magnetico, che eroga quindi una forza di attrazione proporzionale al quadrato della distanza. Supponiamo per semplicità che tutte le biglie siano distanti dai magneti una distanza pari a D0.

La biglia 1 parte ferma e, per effetto del campo magnetico, accelera fino ad una velocità finale Vf, con cui dopo aver  percorso il tratto D0, urta contro il primo magnete.

Abbiamo supposto che tutto sia perfettamente ideale ed elastico, quindi l’energia non si dissipa mai. Se l’energia non si dissipa, vuol dire che tutto il potenziale magnetico viene convertito nell’energia cinetica della pallina 1. Ma se l’urto è perfettamente elastico, tutta questa energia viene trasferita dalla pallina 1, al magnete, che urta elasticamente la pallina 2, la quale urta elasticamente la pallina 3.

L’energia del sistema è conservata, come per i pendolini di Newton. Quindi  la pallina 3 schizza con energia cinetica pari a quella della pallina 1. La pallina 2 non si muove per vari motivi: il primo è che urta elasticamente la pallina 3, per cui trasferisce integralmente la sua energia e resta ferma, il secondo è che la pallina 2 è attratta dal campo magnetico del magnete alla sua destra.

Anche la pallina 3 è attratta dai due magneti. La parte bassa del grafico mostra la forza di attrazione tra due magneti posti a distanza D0 (nel grafico si suppone D0 = 1), come vedete le forze di due magneti si bilanciano esattamente al centro, mentre progrediscono quadraticamente all’avvicinarsi da uno all’altro magnete.

La biglia 3  parte già con una certa energia cinetica iniziale e non da ferma. La sua velocità, per effetto della conservazione dell’energia è proprio pari alla Vf della prima pallina. Vale a dire che l’energia cinetica ricevuta dalla pallina 3 dopo l’urto è sufficiente a farla staccare dal magnete alla sua destra e farle superare il punto di mezzo tra i due magneti. Superato questo punto, sbatte sul secondo magnete e il giochino si ripete finché l’ultima biglia non è libera di muoversi.

Avendo cura di costruire il cannone in modo che ogni biglia parte esattamente a metà dello spazio tra magneti, l’energia cinetica aumenta al crescere del numero di magneti nel sistema.

E, così, l’ultima pallina schizza via, nonostante la prima pallina sia partita da ferma.

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