Vettori e scalari.


La volta scorsa abbiamo visto i tre principi della dinamica di Isaac Newton, prima di entrare nel dettaglio (lo confesso, non ho mai digerito la parola “principio”, se una cosa si può dimostrare, allora non è un prinicipio …) abbiamo ancora bisogno di un post interlocutorio per aggiungere uno strumento importante nella nostra borsa del matematico: il vettore.

Quando fa troppo freddo o troppo caldo, abitualmente consultiamo il termometro per conoscere la temperatura esterna. Trenta gradi sono trenta gradi ovunque, sia che guardiamo verso il vialetto di casa che verso l’alto in cielo. Una quantità di questo tipo, che non dipende dall’orientamento dell’osservatore, è detta scalare.

Lo spazio e tutte le grandezze che ne derivano rispetto al passare del tempo, come la velocità e l’accelerazione, sono invece grandezze che variano a seconda dell’orientamento dell’osservatore: ha perfettamente senso dire “vado a 100 km/h verso destra“. Grandezze di questo tipo sono vettori, cioè oggetti matematici dotati di una intensità (vado a 100 km/h) e di un verso di orientamento ben preciso (verso destra). Anche lo spazio è un vettore: “3 metri verso destra“, sono diversi da “3 metri verso l’alto“. I vettori hanno regole proprie, non eccessivamente complesse, per le operazioni elementari di somma e prodotto, le vedremo man mano che ne avremo bisogno.

In natura lo spazio è caratterizzato da grandezze scalari e vettoriali, quindi. Esempi di scalari sono il tempo, la temperatura, la carica elettrica, la densità, la pressione. Esempi di vettori sono lo spazio e tutte le sue grandezze derivate per variazione di tempo come l’accelerazione, la velocità, etc. Quando nello spazio vengono definite grandezze scalari, come ad esempio la temperatura in una regione, si usano delle formule matematiche che hanno come risultato numeri, detti campi scalari. Quando invece si producono in natura fenomeni tipo la forza di gravità, si parla di campi vettoriali. Li useremo per modellare vari fenomeni, come ad esempio il campo vettoriale di attrazione magnetica che abbiamo visto nel Cannone di Gauss.

Avendo distinto in scalari e vettori, possiamo comprendere ora meglio l’equazione fondamentale della fisica classica: F = ma.

La forza è una grandezza come lo spazio: un vettore che ha intensità ed orientamento specifici. Anche l’accelerazione (attenzione: con una l sola !) è un vettore: quando “diamo gas” con la nostra vettura variamo la nostra velocità con una intensità ed un orientamento ben preciso. La forza si misura in Newton, in onore del genio che l’ha formalizzata.

La massa è invece come la temperatura, un valore numerico. Per motivi intrinsecamente legati alla presenza di forza di gravità, noi percepiamo la nostra massa unicamente come peso, eppure l’equazione fondamentale della meccanica classica presenta la massa in modo molto più astratto: la massa è quella caratteristica intrinseca della materia che si oppone alla “messa in movimento” di un corpo.

L’equazione fondamentale di Newton dice, infatti, cha a parità di forza applicata, due corpi accelereranno in proporzione (inversa) alla loro massa. Supponiamo di applicare ad esempio una forza di un Newton su una massa di un Kg: usando la formula di Newton questa massa accelererà di 1 m/s ^2 per tutto il tempo in cui la forza viene mantenuta. Se applichiamo la stessa forza ad un corpo di mezzo Kg di massa, l’accelerazione risultante sarà doppia e cioé di 2 m/s^2.

Adesso abbiamo strumenti a sufficienza per capire come si deducono i 3 “principi”  della meccanica classica dall’equazione fondamentale. Lo vedremo la prossima volta …

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6 risposte a Vettori e scalari.

  1. alessandra ha detto:

    Mi congratulo per il blog, chiaro nei contenuti al punto da diventare affascinante.
    Lo leggo tutti i giorni e spesso lo condivido in Facebook sperando che i miei amici possano leggerlo. Non sono esperta di matematica, eppure da questi “principi” si ricavano mille spunti di riflessione.

    Una domanda. Sul post Vettori e Scalari, leggo alla fine la frase “L’equazione fondamentale di Newton dice, infatti, cha a parità di forza applicata, due corpi acceleraranno in proporzione alla loro massa.”.

    Dalle mie semplici nozioni matematiche, avrei scritto che l’accelerazione (con una l!) e inversamente proporzionale alla massa. Ovvero che il corpo, a parità di forza, accelera meno se ha maggiore massa.

    Dove sbaglio nel mio ragionamento?
    Grazieee ! Alessandra

    • lidimatematici ha detto:

      Grazie Alessandra, il tuo feedback è preziosissimo !
      E’ corretto, dal punto di vista strettamente matematico i corpi accelerano in relazione inversamente proporzionale alla massa. Nella descrizione si intende proprio questo, correggo comunque l’articolo per chiarire meglio questo punto (anche perché c’era un refuso orribile…) .

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