Una dimostrazione per induzione: la somma dei primi n numeri


Proseguiamo questo breve ciclo di articoli sugli Assiomi di Peano e sul Principio di Induzione Matematica con una dimostrazione più articolata. Abbiamo già raccontato del piccolo Karl Friedrich Gauss e della sua geniale dimostrazione, si dice a soli otto anni, della formula per calcolare la somma dei primi numeri naturali.

Gauss dimostrò, con un procedimento del tutto empirico, che la somma dei primi numeri naturali è:

S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n(n+1)/2

La nostra “borsa del matematico” è ormai abbastanza ben fornita di strumenti che ci consentono di verificare che la formula di Gauss è corretta per n arbitrario. In particolare, abbiamo visto che il principio di induzione è uno strumento essenziale perché consente di dimostrare, con un numero finito di passaggi, proprietà che coinvolgono insiemi infiniti.

Per verificare la formula con n arbitrario, dobbiamo dimostrare che:

Se

S(1) è vera (passo base dell’induzione)

e

supponendo che S(n) sia vera (ipotesi induttiva), allora  S(n+1) è vera

allora

S(n) è vera per ogni n appartenente all’insieme dei numeri naturali.

Dimostrazione del passo base:

S(1) = 1(1+1)/2 = 1

la somma del primo numero naturale è 1 e si ottiene semplicemente sostituendo 1 ad n nella formula di S(n).

Ipotesi induttiva e dimostrazione:
Ora, supponiamo vera la S(n) = n(n+1), dobbiamo ottenere la stessa formula per n+1, ovvero S(n+1). Ma sappiamo che la somma dei primi n+1 naturali è pari alla somma dei primi n più l’n+1mo numero naturale, cioé:

S(n+1) = S(n) + (n+1)

Per ipotesi induttiva, stiamo supponendo che S(n) = n(n+1)/2, sostituiamo:

S(n+1) = S(n) + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)

fattorizziamo per n+1

S(n+1) = S(n) + (n+1) =  n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2+1)

e calcoliamo il minimo comun denominatore del secondo termine:

S(n+1) = S(n) + (n+1) =  n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2

Ma quest’ultima espressione si ottiene proprio sostituendo n+1 ad n nell’ipotesi induttiva, quindi – per il principio di induzione – l’ipotesi è confermata.

Gauss aveva ragione, ma come dubitarne ?

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