Addizioni e moltiplicazioni … a gogo !


Con Peano e Cantor abbiamo imparato a trattare insiemi infiniti di una classe specifica, cioé enumerabili. Sappiamo che per trattare gli oggetti infiniti occorrono strumenti adatti, che ci aiutino a gestire la difficoltà intrinseca di manipolare un numero di elementi considerevole.

Oggi vediamo due strumenti di pura notazione che semplificano la scrittura delle formule matematiche: la sommatoria e la produttoria.

La sommatoria si indica con:

ed è costituita dal simbolo di sommatoria (la lettera greca sigma maiuscola), una variabile di sommatoria (k) e due estremi, inferiore (1) e superiore (N). L’operazione di sommatoria si legge sostituendo nella variabile i valori in ordine crescente dall’estremo inferiore al superiore e sommando, appunto.

Conosciamo già il significato della sommatoria di cui sopra, e sappiamo anche quanto fa:

è una formula di cui abbiamo parlato a più riprese, fu Gauss a scoprirla, da bambino.

La produttoria è il corrispondente della sommatoria, ma per l’operazione di prodotto, e si indica con la lettera pi greco maiuscola:

Anche questo numero ci è noto, ne abbiamo parlato tempo addietro, è il fattoriale:

Adottando i simboli di sommatoria e produttoria si ottiene una formulazione indubbiamente più compatta e, soprattutto, più facilmente leggibile. Sommatoria e produttoria godono delle stesse proprietà di prodotto e moltiplicazione, come ad esempio le proprietà associativa e commutativa. I termini di sommatorie e produttorie possono essere infatti cambiati liberamente di ordine e sommati o moltiplicati in gruppi. Per la sommatoria è altrettanto importante la proprietà distributiva rispetto al prodotto, come ad esempio

osservate l’ultimo termine: sommando in un ciclo che si ripete per N volte 1, cioè calcolando:

1 + 1 + 1 + … + 1

si ottiene proprio l’estremo superiore N. La proprietà distributiva ci tornerà utile più volte in futuro e ne faremo un uso decisamente profittevole.

Sommatorie e produttorie sono quindi utili per manipolare un grande numero di termini o, in generale, un numero di termini arbitrario o infinito: un caso decisamente particolare di cui parleremo in seguito, quando vedremo il paradosso di Achille e della Tartaruga.

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5 risposte a Addizioni e moltiplicazioni … a gogo !

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