Di superuomini, tartarughe e serie convergenti (parte 1)


Nel quinto secolo a.C. il filosofo greco Zenone di Elea pose le basi per la confutazione dell’esistenza del moto attraverso il celebre paradosso di Achille e la Tartaruga. Zenone, con il suo paradosso, sosteneva che sebbene Achille (detto “pié veloce”) corra ben dieci volte più veloce della Tartaruga, dando ad essa un piede di vantaggio non l’avrebbe mai raggiunta.

Del paradosso, negli anni, sono state formulate innumerevoli versioni. La versione che si avvicina di più ad una formulazione coerente è quella di Jorge Luis Borges:

Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla

La formulazione del paradosso di Zenone, così come la versione di Borges nascondono  un trucco all’interno che sta nel trattare il moto di Achille e della Tartaruga mediante una definizione ad hoc. Se Achille viaggia 10 volte più veloce della tartaruga e le concede 10m, l’istante in cui raggiunge (e supera!) si calcola con gli strumenti che abbiamo già messo nella nostra borsa del matematico.

Fissiamo l’origine dove si trova Achille all’istante iniziale, e supponiamo che la tartaruga parta dai 10m. Sappiamo che lo spazio percorso è pari alla velocità per il tempo, quindi se la tartaruga viaggia a velocità v e Achille a 10v (dieci volte la velocità della tartaruga), l’istante in cui Achille raggiunge la tartaruga si calcola eguagliando gli spazi percorsi da entrambi;

10+vt = 10vt

dove v è la velocità della tartaruga e t è il tempo.

Semplificando e risolvendo per t si ottiene che Achille raggiunge la tartaruga in un tempo pari a:

t = 10/(9v)

Un clamoroso errore di calcolo, quindi ?

In realtà “il trucco” sta nella formulazione molto particolare del movimento di Achille e della Tartaruga, che secondo Borges si svolge come segue:

1. La tartaruga parte 10m dopo Achille
2. Ad ogni passo, Achille percorre lo spazio percorso dalla tartaruga al passo precedente, in un tempo pari ad un decimo di quello impiegato dalla tartaruga al passo precedente.

Scritto in questi termini il paradosso in effetti funziona, perché Achille è vincolato a percorrere sempre la quota parte di tragitto percorsa dalla tartaruga al passo precedente mentre, nel frattempo, la tartaruga si è mossa di un’altra frazione di percorso, come riassunto in questa tabella:

al primo passo, Achille percorre 10m e la Tartaruga 1m, al secondo Achille percorre l’altro metro e la tartaruga un decimo di metro e così via. La differenza tra la posizione di Achille e quella della Tartaruga indica chiaramente che quest’ultima è sempre in vantaggio di una frazione di metro.

Osservate invece la sequenza di spazi totali percorsi da Achille e la Tartaruga: è una sommatoria di un numero infinito di termini.

Ne parliamo domani.

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