Di superuomini, tartarughe e serie convergenti (parte 2)


Nel post di ieri abbiamo visto la formulazione di Borges del paradosso di Achille e della Tartaruga. Abbiamo visto che la formulazione del paradosso è costruita in modo molto particolare: gli spostamenti di Achille e la Tartaruga sono regolati ad arte attraverso una successione di movimenti costruita appositamente. Facendo un paio di conti, abbiamo calcolato la posizione di entrambi ad ogni passo, come da tabella seguente:

da cui risulta chiaramente che la tartaruga è sempre in vantaggio di una frazione di metro pari ad un decimo della distanza percorsa al passo precedente e cioé, per k generico ,della quantità 1 / 10^k.

Abbiamo già parlato della sommatoria nel caso particolare di un numero finito di termini. Lo spazio totale percorso dalla Tartaruga, dopo N passi è dato dalla somma di tutte le frazioni di movimenti, e cioé:

Ma che succede considerando non un numero finito N di passi, ma un numero infinito ? Osservate la sequenza di distanze coperte cumulativamente da Achille e dalla Tartaruga: sono entrambe una somma infinita di termini. Supponiamo per semplicità che Achille non sia 10 volte più veloce della tartaruga ma solamente 2, la sommatoria da studiare diverrebbe, quindi:

con l’interessante novità che l’estremo superiore è infinito. Notate come ad ogni passo la frazione si dimezza.  Consideriamo questa sommatoria dal punto di vista geometrico, come nell’immagine seguente:

La parte in giallo è l’unità e ad ogni passaggio dividiamo per 2. Quindi un mezzo è la porzione più a sinistra, un quarto quella immediatamente successiva e così via. Procedendo con un numero infinito di dimezzamenti e sommando ciascuna frazione ci avviciniamo via via a coprire l’intera unità.

In modo formale, questo fatto corrisponde a dire che la sommatoria di infiniti termini:

converge ad 1. Con la caratteristica particolare di valere esattamente 1 solamente se sommiamo un numero infinito di termini.

Un altro modo per convincersi della convergenza è di pensare ad un caso analogo, in cui ci vogliamo avvicinare ad una immaginaria linea di traguardo compiendo ogni volta un tragitto pari alla metà dello spazio rimanente. Anche dopo migliaia di passi, resterà tra noi ed il traguardo un tratto di percorso pari alla metà di quanto abbiamo percorso al passo corrente. Dopo milioni di passi arriveremo infinitesimamente vicino al traguardo, senza comunque toccarlo. E’ solo dopo un numero infiito di passi che arriveremo al traguardo. Su questo concetto, e sul calcolo infinitesimale, torneremo in una serie di post appositi.

Serie di questo tipo sono dette convergenti e, lo vedremo in post successivi, il matematico ha a disposizione una serie di teoremi piuttosto utili (i criteri di convergenza) per determinare se una serie converge o meno. Uno di questi teoremi afferma che se i termini di una serie S1 sono minori di una serie S2, ed S2 converge, allora anche S1 è convergente. Nel nostro caso abbiamo visto (in modo non formale !) che la serie di inversi di potenze di 2 converge e, quindi, converge anche la somma di inversi di potenze di 10, quella che abbiamo ottenuto a partire dalla descrizione del paradosso di Achille e della Tartaruga. Serie di questo genere sono dette serie geometriche e anche ad esse dedicheremo un post apposito.

Infine, una considerazione: in realtà Achille raggiunge la Tartaruga, ma il problema posto in termini di una successione alle ricorrenze fa sì che l’analisi dei movimenti venga condotta avvicinandosi sempre di più all’istante in cui Achille raggiunge la Tartaruga (ma ciò non toglie che Achille, poi, la superi ). Per restare in metafora, compiamo un passo alla volta: di equazioni alle ricorrenze e asintoti parleremo a tempo debito.

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