Quadrati e numeri dispari, un matrimonio perfetto.


Con questo post apriamo una piccola serie di articoli in cui torniamo ad occuparci di matematica per affrontare e risolvere un problema piuttosto interessante. Di tanto in tanto il matematico si accorge di alcuni schemi che si ripetono in vari contesti che, apparentemente, non hanno a che fare nulla gli uni con gli altri. E sono proprio queste cose a mandarlo in sollucchero: simmetrie, dualismi, schemi ripetuti, processi di riconduzione a metodi noti, sono estremamente ambiti e ricercati, non fosse altro per la loro sorprendente bellezza ed eleganza.

Sono tante le proprietà dei numeri naturali che rientrano nel novero di queste sorprendenti bellezze e noi ci concentreremo su questa:

la somma dei primi N numeri dispari è uguale a N al quadrato

Abbiamo già messo nella nostra borsa del matematico gli strumenti per definire l’insieme dei numeri naturali. E sappiamo che in questo insieme si nascondono, sparsi qua e la, alcuni sottoinsiemi abbastanza interessanti come ad esempio i pari, i dispari, i primi, i quadrati, i cubi e così via.

La proposizione che vogliamo analizzare ci dice una cosa piuttosto curiosa: possiamo costruire l’insieme dei quadrati sommando gli elementi dell’insieme dei dispari. Proviamo, intanto, a vedere se è vero con un esperimento pratico:

1 + 3 = 4      (2 al quadrato)
1 + 3 + 5 = 9  (3 al quadrato)

sorprendente, no ?

Che la matematica sia arida è ormai un luogo comune, eppure è il regno incontrastato dell’intuizione. In questa serie di post useremo gli strumenti che abbiamo raccolto in questi mesi per dimostrare questa proposizione e per verificare il nostro intuito. Va da sé che l’intuizione da sola certo non basta e dobbiamo adoperarci per supportarla con un buon metodo.

Quale metodo ? Un teorema, una proposizione o un qualsiasi problema matematico sono dimostrabili in un numero di modi incredibilmente variegato, non ci resta davvero che sbizzarrirci: dimostreremo la nostra proposizione in ben 3 modi diversi, con un procedimento geometrico, con un procedimento algebrico e, infine, attraverso il principio di induzione. Tutti e tre i modi sono riconducibili a strumenti di cui abbiamo parlato in passato.

Iniziamo con il procedimento geometrico: ricordate quando parlammo di Gauss, che da bambino risolse il problema di determinare la somma dei primi 100 numeri, semplicemente ricollocandoli in forma spaziale opportuna ?

L’intuizione che seguiremo è la seguente: è possibile collocare i numeri dispari in forma geometrica, in modo da formare un quadrato ?
Bene, osservate questa figura iniziando dallo spigolo in basso a sinistra:

la figura contiene 6 quadrati concentrici. Il quadrato 1×1 è riempito dal solo numero 1 e per costruire il quadrato 2×2 dobbiamo aggiungere 3 numeri (i colori sono alternati per facilitare la lettura). A seguire, ogni volta che aggiungiamo 1 alla lunghezza del quadrato dobbiamo aggiungere un numero disparo di elementi.

Il nostro processo di costruzione di quadrati mediante aggiunta di un numero dispari di elementi è presto fatto. Per costruire i quadrati di ordine 1, 2, 3, 4, 5, 6 dobbiamo aggiungere rispettivamente 1, 3, 5, 7, 9, 11 elementi. Un procedimento geometrico che consente di passare dai quadrati ai numeri dispari e viceversa.

Troppo semplice ? Al prossimo post ne vedremo una dimostrazione più formale usando un po’ di algebra e uno strumento della nostra borsa del matematico: la somma dei primi N naturali.

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