Somma dei numeri dispari: una dimostrazione algebrica


Riprendiamo il post scorso per fornire una dimostrazione formale della proposizione:

la somma dei primi N numeri dispari è uguale a N al quadrato

Una proprietà davvero interessante, che mostra il legame tra i sottoinsiemi dei numeri naturali dispari e dei quadrati. Abbiamo già visto come sia possibile costruire una rappresentazione geometrica del problema che sembra proprio confermare la proposizione, ma non possiamo dire di averla effettivamente dimostrata perché non siamo sicuri che l’identità regga per N qualsiasi. In questo post usiamo alcuni strumenti già abbondantemente consolidati nella nostra borsa del matematico e cioè:

  1. una funzione che costruisca l’insieme dei numeri dispari
  2. la proprietà distributiva delle sommatorie
  3. la somma dei primi numeri naturali (formula di Gauss)

Il primo passo per dimostrare algebricamente la nostra proposizione è di fornirne una rappresentazione formale. L’idea alla base del processo di dimostrazione algebrico è di sommare i numeri dispari usando lo strumento di sommatoria e di verificare che la somma riconduca a numeri in forma quadratica.

Per fare ciò abbiamo bisogno di una funzione che elenchi i numeri dispari. Sappiamo già come costruire i pari, usando la funzione 2n ma se, per n qualsiasi, 2n è pari allora 2n-1 è necessariamente dispari, come si evince chiaramente dalla tabella seguente:

N    2N-1
1    1
2    3
3    5
4    7
...    ...

La difficoltà che emerge è chiara: non siamo in grado di svolgere il procedimento esplicitamente per ogni valore di N e dobbiamo quindi usare uno strumento formale più sofisticato. Allo scopo ci assiste perfettamente la sommatoria, che possiamo usare per rappresentare la proposizione come segue:

Da qui, basta svolgere i calcoli applicando la proprietà distributiva:

Conosciamo già il termine sommatoria dei numeri naturali, è la formula di Gauss, mentre la somma reiterata dell’unità per N volte è pari proprio ad N. Sostituendo:

svolgendo i calcoli e semplificando:

la nostra tesi.

In un post successivo dimostreremo la stessa cosa usando un procedimento ancora più sofisticato: il principio di induzione.

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