Somma dei numeri dispari e induzione matematica. Una dimostrazione da buongustai.


In questo post concludiamo la serie dedicata alla dimostrazione della proposizione:

la somma dei primi N numeri dispari è uguale a N al quadrato

Abbiamo già visto come sia possibile dimostrare la proposizione per via geometrica ed algebrica.

Ne vediamo ora una dimostrazione ancor più sofisticata, mediante il principio di induzione matematica, cui abbiamo già dedicato una serie di post tempo addietro e che, nel caso specifico, può essere riscritto così:

Se la proposizione è VERA per n = 1 (passo base dell’induzione)

e

se supponendo che sia vera per n (ipotesi induttiva) riusciamo a dimostrare che è vera per n+1

allora

la proposizione è dimostrata.

Il passo base dell’induzione si dimostra facilmente, perché per n = 1 la somma del primo numero dispari è pari a 1 al quadrato. Nulla di complicato fin qui.

Ora, supponiamo che l’ipotesi induttiva sia verificata e dobbiamo dimostrare che la nostra proposizione è valida per n+1, e cioè che la somma dei primi n+1 numeri dispari è uguale a n+1 al quadrato. Sappiamo come scrivere questa espressione, basta semplicemente cambiare l’estremo superiore della sommatoria:

avendo però l’accortezza di scorporare proprio l’ultimo termine e di scriverlo esplicitamente.

Perché lo facciamo ? Perché così siamo in grado di usare l’ipotesi induttiva (e cioè che la somma dei primi n dispari è pari ad n al quadrato) e di sostituirla nell’espressione:

e,  svolgendo i calcoli in modo puramente algebrico, arriviamo alla nostra tesi. Abbiamo infatti dimostrato che, supponendo vera la relazione per n generico, allora otteniamo la stessa relazione per n+1.

In questa serie di post abbiamo visto che le dimostrazioni matematiche sono tutto fuorché aride, perché è possibile costruirle in diversi modi. Ad esempio è possibile dimostrare il passo principale del principio induzione senza usare l’ipotesi induttiva ma applicando la formula di Gauss.

Quando si tratta di dimostrare teoremi il procedimento è un po’ come giocare con le costruzioni, componendo gli strumenti a disposizione secondo uno schema che ci porta nella direzione voluta.

Insomma, in matematica non c’è limite alla fantasia e all’intuizione. Altro che aridità !

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