Numeri primi e fattorizzazione.


Nel post dedicato ai numeri primi abbiamo visto come l’umanità abbia presto “inciampato” in questo interessante modello concettuale.
I numeri primi, lo ricordiamo, sono il sottoinsieme dei numeri naturali divisibili solamente per 1 e per sé stessi. Ecco l’elenco dei numeri primi fino a 100:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 …

sappiamo che i numeri primi si “addensano” verso l’1 e si diradano verso l’infinto, e sappiamo anche che sono infiniti, lo dimostrò Euclide  con un procedimento per assurdo davvero raffinato.

I numeri primi hanno delle proprietà davvero singolari e, per certi versi, sconosciute, cui dedicheremo una serie di post. Ci concentriamo ora esclusivamente sugli aspetti più immediati, ma comunque non meno interessanti. Per definizione, i numeri primi non possono essere ulteriormente scomposti utilizzando l’ordinaria moltiplicazione. Questo fatto comporta, ovviamente, che qualsiasi numero naturale possa essere scritto come prodotto di numeri primi, ad esempio:

12 = 2x2x3

18 = 2x3x3

L’elenco dei numeri primi che scompone un numero naturale è detto dei fattori e può essere anche scritto usando la notazione insiemistica:

F(12) = {2, 2, 3}

F(18) = {2, 3, 3}

Stiamo definendo una funzione F che restituisce l’elenco dei fattori di un numero, abbiamo parlato degli insiemi in altro post. Addottiamo per ora un accorgimento, considerando la nozione di insieme allargata, dove è consentita l’appartenenza dello stesso elemento più volte. Torneremo su questo punto introducendo l’uso della ricorsione. Accontentiamoci, per ora, di questa piccola forzatura.

Supponiamo ora di moltiplicare 12 per 33, i cui fattori sono:

F(33) = {3,11}

La scomposizione di di 12×33 = 396 è piuttosto laboriosa, ma possiamo ricavarla facilmente dalla seguente regola:

il prodotto di due numeri ha come fattori i fattori del primo e del secondo numero

cioé:

F(12×33) = F(12) U F(33) = {2, 2, 3, 3, 11}

dove U è il simbolo di unione insiemistica. E’ una proprietà molto interessante, perché consente di ridurre l’operazione di prodotto ad una operazione di unione di insiemi, cioé di “somma” di elementi.

Sentite anche voi il campanello dell’intuizione ? Per la divisione accade un fenomeno del tutto analogo:

la divisione (intera) di due numeri ha come fattori i fattori del dividendo ma non quelli del divisore

Proviamo a dividere, ad esempio 144 e 6 cioé:

F(144 : 6 ) = F(144) \ F(6) = {2, 2, 2, 2, 3, 3} \ {2, 3} = {2, 2, 2, 3}

dove il simbolo \ è di differenza insiemistica: la differenza tra due insiemi è data da tutti gli elementi del primo meno gli elementi del secondo.

Ancora, sappiamo che non sempre è possibile ottenere una divisione intera, è il caso in cui i fattori del divisore non sono contenuti nel dividendo. Ad esempio 144 non è divisibile per 33 perché nell’elenco dei fattori del divisore (33) figura il numero primo 11 che non compare tra i divisori.

Viste in questo modo la divisione e la moltiplicazione diventano un esercizio di aggiunta e rimozione di numeri primi dall’elenco dei fattori dei termini e tutte le operazioni aritmetiche sono riconducibili ad operazioni su insiemi i cui elementi sono numeri primi. E’ indubbiamente un fatto di grande fascino perché ci consente di considerare i numeri primi un pò come dei mattoncini speciali indivisibili, appunto, con cui costruire tutto il nostro impianto aritmetico.

Riassumendo, abbiamo visto che è possibile ricondurre:

  • moltiplicazione tra interi a unione di insiemi di fattori
  • divisione tra interi a differenza di insiemi di fattori

ovviamente, non è tutto qui …

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