Kurt Godel e il Teorema di Incompletezza


Nei post precedenti abbiamo affrontato il tema della impossibilità di misurare con precisione gli eventi fisici, il Principio di Indeterminazione di Heisenberg, e discusso a più riprese sulla difficoltà intrinseca dei sistemi formali, obbligati ad oscillare tra completezza e coerenza.

Come tutti i grandi temi di scienza, il problema della completezza e della coerenza dei sistemi formali ha impegnato l’umanità per un paio di millenni. Fu il greco Epimenide a rendersi conto per primo, nientemeno che nel VI secolo a.C. della possibilità di formulare espressioni indecidibili, con il Paradosso del Mentitore

Io sono Cretese,  ….

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2 risposte a Kurt Godel e il Teorema di Incompletezza

  1. corrado morozzo ha detto:

    Peccato però che il teorema contraddica se stesso, perché il teorema, utilizzando un determinato formalismo si propone di “dimostrare” l’impossibilità che un qualsiasi sistema formale (e quindi anche lo stesso formalismo utilizzato dal teorema) di costruire una dimostrazione completa.

    Anche se la dimostrazione è contraddittoria la grandezza di Gödel è stata di chiudere definitivamente la questione della effettiva indimostrabilità di un formalismo utilizzando dei ragionamenti formali (ovvero logici/matematici) decretando (forse anche suo malgrado) la morte del determinismo.

    Nel suo secondo teorema, infatti, arriva alla conclusione che è possibile validare un formalismo solo se si utilizza un formalismo di ordine superiore creando, con una ricorsività senza fine, l’impossibilità di arrivare ad una formale validazione.

    È interessante notare che il metodo matematico con cui Gödel arriva alla sua pseudo dimostrazione (il suo punto G) non è molto diverso dal metodo utilizzato dal suo amico Einstein, anche lui nell’enunciare la teoria della relatività non avrebbe dovuto poterla “fissare o riferire” ad una costante. (la velocità della luce).

    La corretta teoria della relatività, di fatto, non potrebbe mai “dimostrare” la propria relatività, tutt’al più, come in effetti ha fatto Einstein, riconoscendo agli elementi della natura una situazione si assoluta relatività, permette di individuare delle correlazioni tra gli elementi (e le forze che agivano sugli stessi) che le basi teoriche precedenti (deterministiche) non permettevano di ipotizzare o evidenziare.

    Le contraddizioni insite nei due teoremi (così come le tante contraddizioni presenti nelle teorie scientifiche) non tolgono nulla alla genialità di Gödel o Einstein, una genialità che ha permesso alla scienza di chiudere una lunga fase deterministica mentre le contraddizioni insite nei loro teoremi stanno diventando il terreno sul quale si sta muovendo la scienza moderna.

    corrado morozzo

    • lidimatematici ha detto:

      Grazie Corrado,
      la relatività di Einstein, in effetti ha un nome infelice, visto che stabilisce un nuovo metro che è il “tempo proprio”. Ne parleremo nel blog piú in la.
      Godel ha asserito che è possibile arrivare a proposizioni indecidibili ma chiaramente solo in casi particolari, non tutte le proposizioni sono indecidibili, tra cui lo stesso enunciato di Godel.
      In ogni caso, e veramente suo malgrado, Godel ha demolito il determinismo.

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