Le meraviglie della Meccanica Quantistica – II


Nel post precedente abbiamo discusso dell’esperimento della doppia fenditura e dei limiti intrinseci della meccanica classica. Con l’Esperimento di Young emerse chiaramente che, al livello subatomico, il comportamento della materia è assolutamente non deterministico.

Fu un terremoto per la fisica del XX secolo: esperimenti successivi, come la radiazione del corpo nero, il calore specifico della materia, la spettrografia applicata ai gas e diversi altri, dimostrarono chiaramente che l’approccio deterministico della fisica classica era semplicemente inapplicabile alla fisica delle particelle. Con l’obsolescenza della fisica classica era necessario, quindi, produrre un nuovo corpus di strumenti matematici a supporto dell’analisi del “reale” (le virgolette, in questo caso, sono d’obbligo e vedremo il perché).

Già dall’inizio del 1900, questa sfida fu raccolta dalle più grandi menti dell’olimpo della scienza, come Max Planck, Niels Bohr, Albert Einstein, Peter Debye, Arnold Sommerfeld. C’era bisogno di un approccio probabilistico alla modellazione dei fenomeni fisici, che rispondesse con distribuzioni di probabilità, piuttosto che con formule dai valori esplicitamente definiti. Contemporaneamente, scaturì un dibattito filosofico notevole, sembrava impossibile che “Dio giocasse a dadi con l’universo”, come recita il detto comunemente attribuito ad Einstein. Fu proprio lo stesso Einstein, invece, a comprendere per primo la natura non deterministica della realtà, analizzando l’esperimento che si rivelò decisivo per l’adozione della meccanica quantistica come strumento d’elezione per il modello della fisica subatomica: l’Effetto Compton.

L’esperimento, condotto dal fisico americano Arthur Compton nel 1922, consisteva nel far collidere un fascio di fotoni con un elettrone. L’energia trasferita dal fascio di fotoni all’elettrone obiettivo non solo sposta l’elettrone ma produce, in modo del tutto casuale, una radiazione elettromagnetica costituita da raggi X. L’esperimento dimostrò che la luce è costituita da fotoni e che, nuovamente, è regolata da fenomeni intrinsecamente casuali.

Effetto compton

Fu così che, nell’arco di 26 anni, dal 1900 con la scoperta della costante di Planck al 1926 con Schroedinger, Heisenberg e Dirac, l’umanità si trovò con una stupefacente collezione di nuovi strumenti per comprendere l’universo: nasce la meccanica quantistica.

La nuova impostazione è applicabile ai fenomeni del mondo subatomico
e consente di prevederne la relativa probabilità (quasi un ossimoro …). Ne vediamo una applicazione alla polarizzazione del fotone: supponiamo di avere a disposizione un filtro polarizzatore, che lascia passare unicamente i fotoni che oscillano lungo un piano, e di disporre due filtri, uno che lascia passare gli elettroni in polarizzazione verticale e l’altro orizzontale.

Effetto del polarizzatore: lascia passare solamente i fotoni che oscillano su un piano determinato

La nuova teoria matematica ruota intorno a cinque capisaldi:

1. Lo stato attuale del sistema è descritto da un vettore unitario a tante dimensioni quanti gli stati ammessi del sistema.
Nel caso della polarizzazione del fotone, gli stati ammessi dal sistema sono descritti da due vettori unitari (cioè di modulo o intensità 1):
– vettore di polarizzazione orizzontale (1,0)
– vettore di polarizzazione verticale (0,1)

2. Per ogni quantità fisica oggetto di osservazione, è definito un operatore specifico (una matrice Hermitiana o una funzione ), detto osservabile. L’osservabile che misura la polarizzazione del fotone è dato dalla matrice

1 0
0 -1

3. Le misure della realtà fisica sono legate agli autovalori della matrice Hermitiana relativa all’osservabile. Gli autovalori relativi ai due stati di polarizzazione sono:
– polarizzazione orizzontale: 1
– polarizzazione verticale: -1

4. Gli stati generici del sistema sono correlati agli autovettori dell’osservabile. E’ possibile costruire vettori di stati del sistema come combinazione lineare dei due autovettori di base. Ad esempio, un polarizzatore diagonale può essere descritto dal vettore somma dei vettori verticale e orizzantale, diviso per radice di due:

1/sqrt(2)[(1 0) + (0 1) ] = 1/sqrt(2)( 1 1)

dove sqrt è la funzione radice quadrata.

5. Per ogni stato del sistema è possibile ricavare la probabilità correlata ad altri stati come funzione (semplifichiamo leggermente) del prodotto scalare degli autovettori che li descrivono.
Supponiamo ora di far passare un fotone prima per il polarizzatore orizzontale e poi per il polarizzatore verticale. La formulazione vettoriale consente di prevedere la probabilità che un fotone passi per due polarizzatori ortogonali con un semplice calcolo, e cioè mediante una funzione del prodotto scalare dei vettori di stato che rappresentano i due polarizzatori:

P = [(1 0) * (0 1)]^2 = [1×0 + 0x1]^2 = 0

dove * è il prodotto scalare (ricordiamo che il prodotto scalare tra due vettori (a b)*(c d) è dato dal numero a x c + b x d). La probabilità che un fotone passi in sequenza per un polarizzatore verticale e poi per uno orizzontale è, quindi, nulla: sovrapponendo due polarizzatori ortogonali non passa luce.

Sovrapponendo due polarizzatori ortogonali non passa luce.

Supponiamo ora di far passare invece un fotone per un polarizzatore orizzontale e poi per uno diagonale (a 45°) e applichiamo lo stesso procedimento per calcolare la probablità di questo evento:

P = [ (1 0) * 1/sqrt(2)( 1 1)] ^2 = 1/sqrt(2)[( 1 0) * (1 1)]^2 = [1/sqrt(2)(1×1 + 1×0)]^2 = 1/2

Abbiamo quindi il 50% di probabilità che un fotone passi, in sequenza, per un polarizzatore orizzontale ed uno in diagonale.

Nell’esempio abbiamo operato alcune semplificazioni per motivi pratici ed editoriali, torneremo ovviamente sul tema degli operatori lineari in un post separato. La prossima settimana, dopo alcune definizioni sul concetto di operatore, autovalore e autovettore, condurremo un esperimento pratico, in casa, che dimostra come le previsioni del formalismo matematico dietro alla meccanica quantistica siano assolutamente corrette. A Mercoledì 17 agosto.

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