Minimo Comune Multiplo e teoria degli insiemi


Se prendo un numero N intero i suoi multipli sono N, 2xN, 3xN, e cosi via.
Per esempio, per N=7 trovo 7, 14, 21, 28 , ecc. , ve ne sono infiniti, e formano un insieme.

Se questo piccolo elenco vi ha ricordato la “tabellina” del 7 siete sulla strada giusta. Se ora faccio entrare in gioco un altro numero, chiamiamolo N’, anche per lui potro` considerare l’insieme di tutti i suoi multipli. Una curiosità naturale e` se c’ è qualche numero che è multiplo sia di N che di N’. La risposta e` piu` naturale ancora: si!, ti basta prendere NxN’.

Per esempio, se prendo N=12 ed N’=18 , allora 12 x 18=216 e` un multiplo comune di 12 e 18. Il tafano della curiosita` insiste: 216 e` l’ unico multiplo comune di 12 e 18? No, perche` anche 216×2=432, 216×3=648, … sono ancora multipli comuni sia di 12 che di 18.

La nuova domanda e` pronta: in questo modo trovo tutti  i multipli comuni di 12 e 18? Cioe`: e` vero che ogni multiplo comune di 12 e 18 e` anche multiplo comune di 216? Avendo letto il post precedente si sa gia` che la risposta e` no. Sempre dal post precedente ricaviamo uno spunto: ridurre problemi di matematica alla teoria degli insiemi è uno strumento potentissimo. Vediamo come funziona nel nostro caso particolare. Consideriamo l’ insieme I di tutti i multipli di 12:

I={ 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, …. }

Sono infiniti, quindi, con tutta la buona volonta`, non riusciremmo mai a scriverli tutti. Comunque, li scriviamo in ordine crescente, in modo che non ce ne dimentichiamo nessuno. Adesso consideriamo l’insieme I’ di tutti i multipli di 18:

I’={ 18, 36, 54, 72, 80, 108, 126, 144, 162, 180, 196, … }

Abbiamo due insiemi I e I’. Consideriamo tutti i numeri che sono sia elementi di I , che di I’.
Per esempio, 144 e` elemento di I e anche di I’. Tutti questi numeri formano un nuovo insieme, che si chiama intersezione degli insiemi I ed I’. Eccolo:

{ 36, 72, 108, 144, 180, … }

Questo e` l’ insieme di tutti i multipli comuni di 12 e 18. E il minimo comune multiplo di 12 e 18 sara` il piu` piccolo numero che trovo in tale elenco, cioe` il 36. Facile, no?

L’ abbiamo trovato senza fare praticamente nessun calcolo aritmetico, ma facendo un’ operazione con gli insiemi: trovando l’ intersezione di I e I’.

Dario Portelli

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