Dividere l’indivisibile: i numeri irrazionali (parte 2)


Riprendiamo il post precedente per introdurre alcune considerazioni generali necessarie per dimostrare l’irrazionalità di radice di 2.

Nel post dedicato alla fattorizzazione e ai numeri primi, abbiamo visto che un numero è decomponibile in fattori e che questa decomposizione è unica.

A suo tempo abbiamo definito l’insieme dei fattori di un numero mediante una funzione generica F, ad esempio i fattori di 18 sono:

F(18) = {2, 3, 3}

Quindi, se n ed m sono primi tra di loro, vuol dire che gli insiemi dei loro fattori:

F(n) = {a1, a2, a3 …}

F(m) = {b1, b2, b3 …}

Abbiamo usato questa notazione come sostituto della produttoria, con cui possiamo esprimere la decomposizione di n in N fattori (primi) a1, a2 … in questo modo:

Se così non fosse, cioé se esistesse almeno un fattore comune X, e cioé:

F(n) = {a1, a2, a3, X …}

F(m) = {b1, b2, b3, X, …}

potremmo dividere sia n ed m per X, appunto.

Facciamo un esempio pratico:

F(14) = {2, 7}

F(21) = {3, 7}

e la frazione 21/14 è uguale a 3/2, grazie al fatto che 7 è in comune e li divide entrambi. Ad essere ancora più precisi, una frazione si può semplificare calcolando il minimo comun divisore, o MCD, e dividendo per quello. Ricordate ? E’ un fatto non da poco che apre le porte alla dimostrazione dell’irrazionalità di radice di 2.

Ancora, l’elevazione al quadrato di un numero corrisponde semplicemente a ripetere di nuovo gli elementi dei fattori. All’epoca usammo una definizione “lasca” degli insiemi, che ora ci torna comoda, abbiamo consentito l’utilizzo di elementi multipli. Ecco, quindi, la decomposizione in fattori di

196 = 14^2 = {2, 2, 7, 7}

Questi due elementi:

– due numeri mutuamente primi non hanno fattori in comune
– il quadrato di un numero ha come decomposizione i fattori del numero stesso, ripetuti due volte

sono più che sufficienti per arrivare alla dimostrazione.

A Venerdì.

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3 risposte a Dividere l’indivisibile: i numeri irrazionali (parte 2)

  1. Dario Portelli ha detto:

    “se n ed m sono primi, vuol dire che gli insiemi dei loro fattori:”

    penso che si volesse dire:

    “se n ed m sono primi TRA LORO (CIOE` NON HANNO DIVISORI COMUNI DIVERSI DA 1), vuol dire che gli insiemi dei loro fattori NON HANNO NESSUN ELEMENTO IN COMUNE”

    Usando le notazioni introdotte sopra, un numero primo ha un insieme dei fattori formato da un unico elemento. Per esempio F(11)={11}

    La notazione {2, 3, 3} probabilmente non piacera` a nessun matematico, ma siccome e` detto esplicitamente che sostituisce una produttoria, accettiamola.

    • lidimatematici ha detto:

      Assolutamente corretto. Grazie Dario per la precisazione, era un refuso che lasciava il lettore confuso (i numeri n ed m non sono primi perché decomposti in fattori). Chiedo venia.
      Si, riprendendo le fila degli articoli precedenti (tra cui il tuo) ho voluto usare la notazione tra parentesi graffe per consentire al lettore di immaginare i numeri primi che si snocciolano in un sacchetto (matematicamente l’insieme che permette elementi multipli si chiama proprio ‘bag’). Tutte le operazioni che vedremo in seguito si possono immaginare come operazioni tra ‘sacchetti di numeri primi’. Pensa, stavo per farmi realizzare da un artigiano un materiale del genere, con alcuni esemplari dei primi 10 o 20 numeri primi, ma poi il progetto è rimasto lí. Sarebbe stato materiale didattico interessantissimo.

  2. Pingback: Dividere l’indivisibile: i numeri irrazionali (parte 3) | LidiMatematici

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