Radice di 2 ed MCD: una dimostrazione per assurdo (parte 1)


Riprendiamo l’argomento dell’irrazionalità di radice di 2, affrontandolo grazie al prezioso strumento delle proprietà formali dell’MCD. Riassiumiamo brevemente il problema: a suo tempo abbiamo parlato della scoperta di Ippaso di Metaponto, il primo a capire che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di frazioni della misura del lato. Sappiamo che ciò gettò Pitagora nello sconforto più totale e … dimostrò l’esistenza dei numeri incommensurabili, cioé che non possono essere ricondotti a multipli o frazioni di numeri interi.

Il primo dei numeri incommensurabili ad essere stato scoperto è la lunghezza della diagonale del quadrato di lato 1, ovvero radice di 2, che non può essere espresso mediante una frazione e, per questo, è detto  irrazionale.  Nel post dedicato alle proprietà dell’MCD, abbiamo costruito diversi strumenti che ci torneranno utilissimi per dimostrare l’irrazionalità di radice di 2.

Usiamo, inoltre, un altro ferro della nostra borsa del matematico, con cui non ci dilettiamo da un po’: la dimostrazione per assurdo. La ricordate ? Nessun problema, basta seguire il link al post relativo. Fu uno strumento preziosissimo in mano ai progenitori della scienza moderna che, sulla base di specifiche ipotesi, consiste nel formulare tesi appositamente erronee per arrivare ad una contraddizione.

Vogliamo  dimostrare che non esiste alcuna frazione, cioé coppia di numeri interi n ed m primi tra di loro, tali che il loro rapporto sia uguale a radice di 2, il che vale a dire che:

oppure, elevando al quadrato:

L’impianto della nostra dimostrazione è il seguente:

  • supponiamo ora che esistano n ed primi fra di loro, tali che il loro rapporto sia uguale a radice di 2.
  • usiamo le proprietà dell’MCD
  • dimostriamo che si arriva ad una contraddizione usando le proprietà dell’MCD, applicate all’ipotesi.

Prima di procedere alla dimostrazione lasciamo un po’ di tempo a chi volesse divertirsi per conto proprio. Qualche suggerimento: l’ipotesi che useremo è la seguente

ipotesi – n ed m sono primi fra di loro

e la tesi che supporremo vera è questa:

tesi – il  loro rapporto è pari a radice di 2

Per dimostrare che le due sono in contraddizione occorre usare le seguenti proprietà dell’MCD:

  • se N, M sono primi tra di loro, allora MCD(N, M) = 1
  • MCD(N^2, M^2) = MCD(N, M)^2

Avete già capito come si fa ? Alla prossima …

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2 risposte a Radice di 2 ed MCD: una dimostrazione per assurdo (parte 1)

  1. corrado morozzo ha detto:

    Esiste anche un modo non matematico per dimostrare l’irrazionalità della radice quadrata di 2 utilizzando il secondo teorema di Gödel, il teorema sostiene, infatti, che per validare un formalismo è necessario utilizzare un formalismo di ordine superiore, in altre parole l’unità di riferimento e le modalità di sviluppo di un qualsiasi formalismo non potranno mai avere una validazione interna.

    corrado morozzo

  2. Pingback: Radice di 2 ed MCD: una dimostrazione per assurdo (parte 2) | LidiMatematici

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