LidiMatematici compie il salto di qualità !

Cari amici,

nell’ultimo anno LidiMatematici ha riscosso un interesse superiore a tutte le aspettative. Oltre 130.000 visite dalla data di apertura, Novembre 2010. Il sito è visitato da praticamente tutto il pianeta, ad eccezione delle aree a minore diffusione di Internet, come l’Africa e parte dell’Asia. Il primo mese, in soli 20 giorni di attività, le pagine viste ammontavano a poco più di 1.200. Nel secondo 2.000 e poi, in un crescendo da brivido, le pagine viste in totale sono arrivate ad oltre 77.000 nel 2011. Il trend sembra davvero inarrestabile: nei soli primi due mesi e mezzo di questo anno le visite sono già arrivate ad oltre 50.000, praticamente i due terzi dell’anno prima.

Et voilà, questo è il nuovo dominio:

http://www.lidimatematici.it/

Insomma, quella che doveva essere una scommessa è diventata un impegno importante, che sarebbe stato davvero un peccato disattendere. Per questo motivo il salto è deciso, e LidiMatematici diventa dominio. Queste pagine saranno attive come archivio dei post passati, di backup, per essere sicuri che qualcosa non vada perso e avere, così, una “scialuppa” di salvataggio. Da oggi, tutti i nuovi post verranno pubblicati al nuovo indirizzo http://www.lidimatematici.it.

A tutti voi un sincero grazie per i tanti feedback positivi e per l’incoraggiamento, vi chiedo la cortesia di continuare la vostra preziosissima opera di paziente supporto e di segnalarmi eventuali anomalie e/o mancanze.

Carlo

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Radice di 2 ed MCD: una dimostrazione per assurdo (parte 2)

Riprendiamo la dimostrazione iniziata il post precedente. Vogliamo arrivare a dimostrare che radice di 2 è irrazionale attraverso una dimostrazione per assurdo, che usi le proprietà dell’MCD.

Ricapitolando, dimostreremo per assurdo l’irrazionalità di radice di 2 supponendo che, se n ed m sono primi, questa tesi:

sia vera.

In altri termini, posta la seguente

ipotesi: n ed m sono primi fra di loro

e, supponendo vera la seguente

tesi: il  loro rapporto è pari a radice di 2

dobbiamo ottenere una contraddizione.

Per le proprietà dell’MCD, sappiamo che se due numeri n ed m sono primi tra di loro, allora

MCD(n,m) = 1

Inoltre, sappiamo che l’MCD dei quadrati di due interi è pari al quadrato del loro MCD:

MCD(n^2, m^2) = MCD(n,m)^2

Applichiamo la nostra ipotesi, per cui MCD(n, m) = 1, e calcoliamo quindi l’MCD tra i quadrati di n ed m:

MCD(n^2, m^2) = MCD(n,m)^2 = 1^2 = 1

Fin qui, abbiamo ottenuto una conseguenza dell’ipotesi per calcolo diretto, cioé che se n ed m sono primi fra di loro, allora anche i loro quadrati sono mutuamente primi.

Ora, la tesi ci dice che il rapporto tra i quadrati di n ed m è pari a 2 e, quindi, applicando le proprietà dell’MCD:

MCD(m^2, n^2) = MCD(m^2, 2 m^2) = MCD(m^2, 2m^2 – m^2)  = MCD(m^2, m^2) = m^2

Ovviamente, se n^2 = 2m^2, il massimo comun divisore tra questi due è proprio pari ad m^2. Ed ecco la contraddizione: se supponiamo che il loro rapporto è pari a radice di 2, otteniamo l’opposto dell’ipotesi, e cioé che non sono primi tra di loro.

Ci siamo voluti divertire qui a mostrare come due ferri del mestiere, dimostrazione per assurdo e proprietà dell’MCD, servano perfettamente allo scopo. Ma la cosa più interessante è che la stessa dimostrazione può essere condotta formalmente in molti altri modi !

Non è questo il bello della scienza ?

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Radice di 2 ed MCD: una dimostrazione per assurdo (parte 1)

Riprendiamo l’argomento dell’irrazionalità di radice di 2, affrontandolo grazie al prezioso strumento delle proprietà formali dell’MCD. Riassiumiamo brevemente il problema: a suo tempo abbiamo parlato della scoperta di Ippaso di Metaponto, il primo a capire che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di frazioni della misura del lato. Sappiamo che ciò gettò Pitagora nello sconforto più totale e … dimostrò l’esistenza dei numeri incommensurabili, cioé che non possono essere ricondotti a multipli o frazioni di numeri interi.

Il primo dei numeri incommensurabili ad essere stato scoperto è la lunghezza della diagonale del quadrato di lato 1, ovvero radice di 2, che non può essere espresso mediante una frazione e, per questo, è detto  irrazionale.  Nel post dedicato alle proprietà dell’MCD, abbiamo costruito diversi strumenti che ci torneranno utilissimi per dimostrare l’irrazionalità di radice di 2.

Usiamo, inoltre, un altro ferro della nostra borsa del matematico, con cui non ci dilettiamo da un po’: la dimostrazione per assurdo. La ricordate ? Nessun problema, basta seguire il link al post relativo. Fu uno strumento preziosissimo in mano ai progenitori della scienza moderna che, sulla base di specifiche ipotesi, consiste nel formulare tesi appositamente erronee per arrivare ad una contraddizione.

Vogliamo  dimostrare che non esiste alcuna frazione, cioé coppia di numeri interi n ed m primi tra di loro, tali che il loro rapporto sia uguale a radice di 2, il che vale a dire che:

oppure, elevando al quadrato:

L’impianto della nostra dimostrazione è il seguente:

  • supponiamo ora che esistano n ed primi fra di loro, tali che il loro rapporto sia uguale a radice di 2.
  • usiamo le proprietà dell’MCD
  • dimostriamo che si arriva ad una contraddizione usando le proprietà dell’MCD, applicate all’ipotesi.

Prima di procedere alla dimostrazione lasciamo un po’ di tempo a chi volesse divertirsi per conto proprio. Qualche suggerimento: l’ipotesi che useremo è la seguente

ipotesi – n ed m sono primi fra di loro

e la tesi che supporremo vera è questa:

tesi – il  loro rapporto è pari a radice di 2

Per dimostrare che le due sono in contraddizione occorre usare le seguenti proprietà dell’MCD:

  • se N, M sono primi tra di loro, allora MCD(N, M) = 1
  • MCD(N^2, M^2) = MCD(N, M)^2

Avete già capito come si fa ? Alla prossima …

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Calcolo dell’IMU: le aliquote applicate dai comuni italiani

In queste ore l’impatto dell’IMUsulle tasche degli italiani si va definendo con maggior chiarezza.  L’IMU, calcolato come segue:

IMU = Base Imponibile (rivalutata del 5%) x Coefficiente di Rivalutazione x Aliquota

varia in modo considerevole in base alla categoria catastale e all’aliquota stabilita localmente da ciascun comune. Le aliquote possono variare da una base minima del 4 per mille, applicata ad esempio dai comuni di Firenze e Milano, ad un massimo del 7 per mille. Stando a quanto annnunciato dai sindaci dei vari comuni italiani, nessuno si avvarrà dell’aliquota massima. Il 6 per mille è l’aliquota più alta nota oggi, e sarà applicata dal comune di Torino. Roma e Genova si attesteranno su un onesto 5 per mille.

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Annunciate le aliquote IMU per il Comune di Roma

Abbiamo vissuto un Natale caldo e … magro, per via dell’annuncio della nuova tassa IMU, destinata a sostituire l’ICI. LidiMatematici ha trattato la vicenda in modo piuttosto estensivo, in una serie di post.

La tabella comparata delle aliquote IMU, che potete trovare qui, elenca gli importi minimi e massimi della nuova tassa su tutte le categorie castatli.

L’IMU, lo ricordiamo, è calcolato in ragione della seguente formula:

IMU = Base Imponibile (rivalutata del 5%) x Coefficiente di Rivalutazione x Aliquota

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LidiMatematici Podcast

LidiMatematici apre un altro fronte di divulgazione, pubblicando in versione Podcast i contenuti del sito. Si tratta ovviamente di un lavoro lungo e laborioso, che verrà condotto in un lasso di tempo lungo.

Gli articoli che verranno proposti in Podcast sono scelti in base all’interesse dimostrato da voi lettori.  Al momento sono disponibili tre podcast, su Godel, Heisenberg ed Eratostene. Tutti i podcast saranno scaricabili da una unica pagina, accessibile dal menu in alto, che verrà aggiornata man mano con l’indicazione della data dei nuovi contenuti.

La keyword (PODCASTxxx) prima del link serve per cercare il corrispondente articolo in formato elettronico, attraverso il motore di ricerca interno.

Se avete preferenze specifiche su quali articoli convertire in Podcast, siete chiaramente i benvenuti, i vostri feedback sono preziosissimi. Insomma: io vi ho fatto sentire la mia voce, e voi fatemi sentire la vostra !

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La condizione della donna nel mondo: il report delle Nazioni Unite

A mente fredda dalla sbornia di luoghi comuni tipici da “giornata dell’8 Marzo”, vale sicuramente soffermarsi sulle evidenze fattuali riportate dallo studio delle Nazioni Unite, datato 2010, sulla condizione della donna nel mondo.

Il quadro tracciato dal Dipartimento di Economia e degli Affari Sociali è davvero poco consolante. Sul fronte dell’educazione sono stati fatti progressi, benché lenti ed irregolari, dell’alfabetizzazione delle donne adulte rispetto agli uomini
in tutto il mondo. Ma le donne sono ancora nettamente in svantaggio:

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