Anche la matematica è un opinione


L’uomo del mito della caverna platonico è condannato ad avere l’esperienza della propria ombra, e dell’ombra delle cose. Cos’è la realta ? E’ conoscibile ? Fino a che punto ? La realtà è un aspetto di un unica realtà ultima o è veramente frammentata nelle mille forme che sperimentiamo tutti i giorni ?

Uno dei risultati più sconcertanti della scienza del XX secolo è l’impossibilità di stabilire un sistema formale che sia contemporaneamente completo, cioè in grado di coprire tutti i fenomeni osservabili, e coerente, cioè che non consenta di arrivare a dei paradossi o contraddizioni, partendo dalle stesse regole (o assiomi) del sistema formale. Il principio di indeterminazione di Heisenberg demolisce la possibilità di misurare con certezza un fenomeno:

Non possiamo mai conoscere contemporaneamente e con precisione la posizione e la quantità di moto di una particella subatomica

Il teorema di incompletezza di Godel demolisce la possibilità di rappresentarlo formalmente:

Per ogni sistema formale di regole ed assiomi è possibile arrivare a proposizioni indecidibili, usando gli assiomi dello stesso sistema formale

Entrambe le affermazioni postulano che è impossibile formulare un sistema che sia contemporaneamente coerente e completo e che tale impossibilità è sia fisica (Heisenberg) che concettuale (Godel).

E’ fisicamente impossibile conoscere con completezza lo stato di una particella subatomica (qualitativamente: tutto l’universo è fatto di particelle subatomiche) e se ci proviamo la nostra misurazione non può essere coerente con le altre, perché imprecisa. E’ concettualmente impossibile stabilire un sistema formale di regole coerente e completo che rappresenti  i fenomeni; eliminando gli assiomi che possono portare alla contraddizione si perde in completezza, e viceversa.

Sul fronte della Scienza, dunque, Godel e Heisenberg postulano la inconoscibilità dell’universo e demoliscono la fede nell’assolutismo razionalistico. Al di là dei riflessi filosofici, ciò vuol dire che la scienza è “semplicemente” astrazione di un modello su una realtà cioè un costrutto che ha la stessa natura umana, imperfetta e modificabile.

Si è usi dire che “la matematica non è un opinione“. Eppure, non solo la matematica è un’opinione: è il più grande ed articolato, ma molto ben fondato, sistema di opinioni che l’uomo abbia mai prodotto e, come è tale, è discutibile, opinabile, modificabile e adattabile. Altrettanto vale per le scienze in generale.

Lo straordinario risultato di Godel dimostra addirittura che a dispetto di tutti gli sforzi possibili, qualsiasi sistema formale può produrre teoremi indecidibili (ovvero né veri, né falsi): l’uomo non è quindi in grado di produrre sistemi di rappresentazione, o modelli, “perfetti”.

Aggiungendo a questo che l’unico strumento che l’uomo ha a disposizione per conoscere l’universo è un sistema formale che lo modelli, poiché l’universo è inconoscibile con precisione (dal risultato di Heisenberg), si direbbe proprio che siamo costretti a rinunciare alle nostre pretese di assolutismo razionalistico.

Ad onor del vero, bisogna dire che nessuno scienziato o persona dotata di un certo background scientifico serio si sognerebbe mai di affermare che la scienza è in grado di comprendere e descrivere con certezza assoluta i fenomeni. Questo atteggiamento è più proprio del senso comune che assegna valenza assoluta alle proprie percezioni. Per ignoranza, infatti, molte persone sono disposte a scommettere sulla veridicità di ciò che hanno visto o udito, oppure sulla univocità di significato delle proprie affermazioni.

Eppure anche il linguaggio, al pari di qualsiasi altro sistema formale o informale di rappresentazione, gode della stessa proprietà di incompletezza dimostrata da Godel.

Si rifletta sul significato dell’affermazione

questa frase è falsa

qual è il suo significato ? Se la frase è vera allora  è vero che è falsa e, quindi, non può essere vera; se, invece, la frase è falsa allora è falso che la frase è falsa e quindi deve essere vera.  La frase è semplicemente indecidibile, ovvero è sia falsa che vera e sia non-falsa che non-vera.

In ogni caso, abbiamo appurato che il nostro linguaggio è imperfetto e non ha potenziale espressivo sufficiente per descrivere situazioni come questa.  Ma attenzione, perché tutti questi “casi limite” giacciono in un confine è in grado di indicare proprio la “vera” natura dell’universo. Esistono configurazioni del cosmo in cui le cose sono sia vere che non vere ? E se esistono, siamo in grado di comprenderle e descriverle ?

Gli scienziati sono perfettamente al corrente del fatto che stanno investigando delle proprietà di modelli della realtà, piuttosto che la realtà stessa. Le teorie scientifiche servono proprio a questo. Un modello diventa teoria quando è dimostrata la sua adattabilità “locale” ad un sottoinsieme di fenomeni oggetto dello studio.

Lo scienziato analizza la realtà che vuole modellare e ingloba tutti i risultati ed i dati estratti dalle proprie osservazioni all’interno della teoria che sta sviluppando. La teoria ha come scopo la produzione di un modello matematico della realtà analizzata. Nel lavoro di formulazione della teoria dimostra anche l’isomorfismo tra modello e realtà di riferimento.

Se il modello non è in grado di coprire alcuni aspetti della realtà, allora la teoria viene estesa, fino a che è possibile coprire tutti i fenomeni che si vogliono investigare. Se l’isomorfismo non sussiste più, allora la teoria non è valida. Nella realtà un lavoro di ricerca assurge a teoria solo quando l’isomorfismo è ampiamente dimostrato.

Un esempio di modello è l’equazione della gravitazione universale di Isaac Newton, nella sua Teoria della Gravità  con cui è possibile prevedere il moto degli oggetti nel cosmo, la loro posizione, velocità, ecc.

Trovare una soluzione ad un problema nel modello, in virtù dell’isomorfismo tra modello e realtà, significa quindi risolvere il problema nel mondo reale. Ma attenzione: nella fase di ricerca della soluzione l’oggetto della percezione umana non è la realtà, ma il modello. Ciò avviene anche perché la realtà è inconoscibile ed in ogni modello si operano delle forzature o si ignorano relazioni di minore interesse all’interno della realtà di riferimento.

La rappresentazione di un fenomeno reale è quindi un problema percettivo legato al modello che si osserva. Per di più, la stessa osservazione è basata su un modello di rappresentazione costruito automaticamente dal nostro cervello durante l’osservazione. Vale a dire che, come nel mito della caverna di Platone, quando guardiamo il mare non abbiamo l’esperienza del mare vera e propria, ma stiamo analizzando i dati che arrivano al nostro cervello, codificati secondo un modello innato e diverso per tutte le persone.

Tutti noi, quindi, quando viviamo non sperimentiamo la vera essenza delle cose, ma il modello di riferimento. La percezione è, quindi, costituita dalla rappresentazione interna frutto della codifica dell’energia scambiata col mondo reale. In questo senso, la percezione non può avere valore assoluto, perché ha come oggetto dei dati codificati, non il mondo stesso.

La scienza è però in grado di rispondere alla domanda “che cosa significano le rappresentazioni all’interno del modello, nel mondo reale ?”. In termini più formali, qual è la semantica (significato) della percezione ?

Una parte fondamentale del lavoro di Godel è incentrata sulla dimostrazione di un isomorfismo tra le possibili percezioni/rappresentazioni ed i numeri naturali. Il processo di assegnare un intero ad una rappresentazione è detto Godelizzazione, che consiste essenzialmente nella possibilità di assegnare un numero univoco ad ogni sequenza di percezioni. Essendo il numero univoco, possiamo assegnare a questo numero il compito di definire il significato della percezione, ovvero la sua semantica.

L’affermazione di Godel ha effetti di proporzioni impressionanti: tutto è codificabile con semantica assegnata. Questo è il motivo per cui abbiamo la possibilità di trattare digitalmente immagini, suoni, filmati e tutte le entità per cui sia definito un apposito modello.

Tuttavia questo fatto non deve ingannare, perché è pur vero che possiamo Godelizzare praticamente ogni entità (comprese le teorie, i modelli, i programmi ed i programmi che Godelizzano entità), ma resta sempre l’incompletezza del sistema formale (Godel) che stabilisce il modello di acquisizione e l’impossibilità di una percezione della realtà indipendente dall’osservatore (Heisenberg).

Ma si rifletta un attimo: la semantica della rappresentazione al computer della immagine di un tramonto ha forse meno valore rappresentativo dell’immagine che si forma nella nostra mente ? Come possiamo allora affidarci alla nostra percezione come descrizione univoca della realtà e preferire questa ad altre ?

I due sistemi di rappresentazione, umano e digitale, hanno lo stesso valore perché sono isomorfi: si tratta, in sostanza, di due strutture di modelli assolutamente equivalenti.

Il principio di indeterminazione di Heisenberg complica decisamente le cose. Ogni volta che tentiamo di indagare la realtà siamo costretti ad accettare queste limitazioni

  • l’osservatore modifica il comportamento dell’osservato
  • l’osservazione è necessariamente ristretta ad una porzione del fenomeno osservato

in definitiva, non esiste un osservatore ed un osservato, ma l’unione di entrambi e l’osservazione in se fornisce dati su una coppia inscindibile di elementi: lo stato dell’osservatore e lo stato dell’osservato.

L’unica possibilità che resta allo scienziato-osservatore è di formulare un modello “verosimile” della realtà in esame.

Inoltre, il sistema formale che descrive il modello della realtà oscilla tra questi due estremi:

  • coerenza: tutti i teoremi formulabili sul modello del sistema devono essere decidibili
  • completezza: tutti gli enunciati formulabili sono teoremi (in altri termini: il modello deve essere in grado di coprire tutte le esigenze di rappresentazione della realtà di riferimento)

il risultato di Godel implica che un sistema coerente perde in completezza ed un sistema completo perde in coerenza..

In particolare, i sistemi formali non sono in grado di descrivere se stessi coerentemente. Un esempio è la frase “questa frase è falsa”, in cui la frase tenta di decidere la qualità di se stessa. In particolare, ciò che devasta qualsiasi sistema formale è la negazione: affermare l’esistenza formale di un oggetto non-oggetto. Esempi di questo fatto sono, appunto,  l’indecidibilità di una frase in cui si attesti che questa è una non-frase, o decidere se il numero zero (un numero che rappresenta una non-quantità) appartiene agli insiemi dei numeri (che rappresentano quantità).

Le implicazioni filosofiche di queste indecidibilità sono più vaste ed illuminanti di quanto si possa immaginare: si direbbe che questi “accidenti” indichino proprio la vera natura del cosmo: una commistione di essenza e non-essenza in eterno mutamento. Quando un sistema tenta di descrivere se stesso, significa che sta indagando sulla propria essenza con i propri stessi strumenti. Ed il risultato è puntualmente, qualsiasi sistema esso sia, che il sistema arriva a descriversi con teoremi sia veri che falsi, sia non-veri che non-falsi. O, in altri termini: sia in termini di essere che di non-essere, mai disgiunti e contemporaneamente presenti.

Chiarite le enormi difficoltà concettuali da affrontare per tentare di conoscere il nostro universo, il lavoro fatto dalla scienza e dagli scienziati attraverso i secoli appare ancora più grandioso. Prendere atto della inconosciblità dell’universo non significa sminuire la validità del mondo scientifico: il grande lavoro degli scienziati sta nel definire modelli le cui classi di isomorfismo con la realtà sono così ampie ed efficaci che, addirittura, sono isomorfe a qualsiasi altro modello che descriva gli stessi fenomeni.

Ciò significa che è possibile definire matematiche la cui aritmetica preveda che 2+2=5, ma queste sono tutte isomorfe alla nostra matematica. In questo senso, il valore della nostra matematica, pur se relativo, è immenso. Perché, pur essendo imperfetta, è altamente probabile che sia equivalente ad altre matematiche sviluppate in parti remote del cosmo.

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