Benoit Mandelbrot e la geometria frattale


In diversi post abbiamo parlato di geometria, abbiamo raccontato i prodigi di Euclide nell’inventare la geometria piana e degli incredibili sforzi di Padre Girolamo Saccheri che hanno portato alle scoperta delle geometrie non euclidee.

Sappiamo che Padre Saccheri tentò in ogni modo di dimostrare che il quinto postulato di Euclide si potesse derivare dai primi quattro. Spese una vita nei suoi propositi e morì convinto di lavorato invano. E, invece, il suo contributo fu essenziale perché  l’umanità comprendesse che la geometria euclidea non è l’unica possibile.

Era il 300 a.C. quando Euclide pensò la sua geometria e ci sono voluti 2000 anni per gettare le basi con Padre Saccheri – nel 1733 – per le prime geometrie non euclidee. Con un salto da brivido di quasi 2500 anni, da una idea dei matematici Giuseppe Peano e Gaston Julia, il matematico polacco Benoit Mandelbrot, ricercatore IBM, ha ideato una geometria tutta particolare: i frattali. Siamo nel 1975.

La struttura frattale ha una particolarità interessantissima: ingrandendo una sezione  si ottiene nuovamente la stessa configurazione geometrica. Abbiamo già incontrato la ricorsione  e sappiamo che, come in un gioco di specchi, è basata sul riuso, anche indefinitamente, delle stesse strutture matematiche. I frattali hanno la medesima caratteristica, all’interno di ogni sezione frattale si ritrovano le stesse strutture, e così all’infinito. Mandelbrot utilizzò una semplicissima equazione ricorsiva:

Z(n+1) = Z(n)^2 + Z0

dove si ottiene il prossimo elemento della serie semplicemente elevando il precedente al quadrato ed aggiungendo una costante Z0. La novità è però nell’uso dei numeri complessi e nell’adottare una convenzione grafica che assegna un colore ad ogni livello di intensità del modulo. Dei numeri complessi e dei relativi operatori non ce ne siamo ancora occupati, ma lo faremo presto.

Con questa semplice formula si ottiene un “universo” geometrico di una bellezza sconcertante, in rete è possibile trovare diversi programmi per la generazione dei frattali, che consentono di visualizzare l’insieme di Mandelbrot:

e di “zoomare” all’interno centinaia di milardi di volte, sempre ottenendo una ripetizione della medesima struttura. Il nome frattale fu coniato dallo stesso Mandelbrot, ad indicare la forma spezzata delle geometrie che si ottengono visualizzandoli al calcolatore.

I paesaggi che si ottengono sono onirici e di una bellezza sconcertante, ciascuna sezione dell’insieme di Mandelbrot è caratterizzata da una forma locale specifica, che si ripete indefinitamente. Ci sono così parti in cui le forme sono a spirale, altre che ricordano galassie, altre che somigliano a fiocchi di neve e poi onde del mare e così via. Le forme frattali sono innumerevoli in natura, dalle coste ai broccoli alle spirali delle conchiglie, eccetera.

Non resta quindi che deliziarci gli occhi con alcuni stupendi paesaggi dell’ “universo frattale” (segui il -> link alla galleria di immagini o clicca sull’immagine sotto per ingrandire)

 

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