Quanto è infinito l’infinito ? Proviamo a contarlo (parte 1)

Nel post precedente, dedicato a Cantor, con la teoria degli insiemi, abbiamo messo nel sacco nuovi strumenti piuttosto potenti. A questi, nel post dedicato al Paradosso di Russell, abbiamo affiancato il concetto di relazione. Usiamo ora tutti questi giocattoli per un obiettivo piuttosto ambizioso: contare l’infinito.

Fu lo stesso Cantor a rendersi conto che gli infiniti non sono tutti uguali, e cioè che ci sono infiniti “più numerosi” di altri. Decisamente sorprendente, no ? Andando per intuizione, si sarebbe portati a dire che l’infinito è infinito, punto e basta. Cantor dimostrò che non è così e vedremo assieme che comprendere questo risultato non è affatto complesso, occorre solamente un po’ di metodo.

Oggi ci limitiamo ad introdurre il tema con un esempio pratico: quando si ha a che fare con l’infinito, bisogna procedere con una certa accortezza. Prendiamo ad esempio l’insieme dei primi 10 numeri naturali:

N10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

di questi, gettiamo via tutti i dispari e teniamo solamente i pari:

P10 = {2, 4, 6, 8, 10}

lasciamo per ora lo zero da parte, ne parleremo in un post dedicato.

Applichiamo le nozioni di insiemistica che abbiamo visto la volta scorsa: si verifica facilmente che il secondo insieme è contenuto nel primo, perché ogni elemento di P10 appartiene anche a N10. Abbiamo detto che questo fatto si indica formalmente con

P10   N10

Ancora, il numero di elementi dei due insiemi, detto cardinalità è pari a:

|P10| = 5

|N10| = 10

insomma, non c’è dubbio che l’insieme dei numeri pari fino a 10 conta esattamente metà elementi che non quello dei primi 10 naturali. Ma d’altronde, è banale: prendiamo un insieme, ne togliamo metà elementi, il sottoinsieme risultante è certamente più piccolo del primo.

Consideriamo ora gli insiemi dei numeri naturali

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ….}

e dei naturali pari

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ….}

entrambe gli insiemi contano chiaramente un numero infinito di elementi. Saremmo portati chiaramente a dire che l’insieme P è più piccolo dell’insieme N, soprattutto dopo quanto abbiamo visto sopra per gli insiemi finiti N10 e P10. Ma è veramente così ?

Proviamo a ragionarci su, domani vedremo cosa accade quando si a che fare con insiemi infiniti …