Quanto è infinito l’infinito ? Proviamo a contarlo (parte 2)

Abbiamo visto, ieri, come sia semplice contare gli elementi di insiemi finiti, ma quando si ha a che fare con insiemi infiniti, non si possono adottare strumenti troppo rozzi. Usiamo allora una versione più sofisticata del concetto di cardinalità e diciamo che:

due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità se esiste una relazione R che consente di legare ciascun elemento di A ad uno ed uno solo di B e viceversa

Complesso ? Non troppo, stiamo solamente dicendo che due insiemi hanno lo stesso numero di elementi se possiamo collegarne gli elementi contenuti uno ad uno. Riprendiamo l’esempio dei genitori e dei figli visto la volta scorsa

G = {Paolo, Maria, Francesco}

F = {Marco, Mirko, Sara}

e usiamo i diagrammi di Venn per dimostrare come la definizione data sopra serva a determinare che tutti e due gli insiemi hanno la stessa cardinalità, e cioé 3:

non ci vuole molto ad inventare la relazione R che leghi i due insiemi: si disegna un arco tra ciascun elemento di G ed uno ed uno solo di F e cioé si parte dal primo elemento di G e se ne fa corrispondere uno di F fino a coprire tutti gli elementi di G. Se nessun elemento di F resta fuori, il gioco è fatto: ogni elemento di ciascun insieme ha il suo corrispondente nell’altro e i due insiemi contano quindi lo stesso numero di elementi. Ricorda molto il gioco delle sedie e dei ballerini: alla fine della musica gli elementi dell’insieme dei ballerini si precipitano su quelli dell’insieme delle sedie, definendo una vera e propria relazione insiemistica. Se un ballerino non riesce a trovare la sua sedia, allora sappiamo che i due insiemi hanno cardinalità diverse, cioè che ci sono meno sedie …

Ma perché dobbiamo affannarci così tanto ? Non basta contare gli elementi ? Certo, nel caso di insiemi finiti contare è una operazione relativamente semplice. Ma se gli elementi sono infiniti non possiamo certo contare all’infinito !

La definizione di uguaglianza tra cardinalità di insiemi data sopra ha una proprietà interessante: è valida sia per insiemi finiti che infiniti. E allora ?

Allora, prendiamo ciascun elemento degli insiemi naturali N, e usiamo una semplice relazione matematica che consiste nel moltiplicarne il valore per 2: ad 1 corrisponde 2, a 2 corrisponde 4, a 3 corrisponde 6 e così via. Non è difficile realizzare che, usando la definizione data sopra, a ciascun elemento dell’insieme dei numeri naturali corrisponde uno ed uno solo dei numeri naturali pari:

f(n)=2n
1    ->    2
2    ->    4
3    ->    6
4    ->    8
5    ->    10
6    ->    12
7    ->    14
8    ->    16
9    ->    18

…           …

E, quindi, la sorprendente conclusione

esistono tanti numeri naturali quanti numeri naturali pari

Lasciamo ora al lettore volenteroso il quesito di determinare se ciò vale anche per i numeri naturali dispari.

Ma allora gli infiniti sono tutti uguali o no ? Torneremo sull’argomento in modo più rigoroso.

f(n)=2n
1    ->    2
2    ->    4
3    ->    6
4    ->    8
5    ->    10
6    ->    12
7    ->    14
8    ->    16
9    ->    18