La solitudine dei numeri primi: storie di ardite congetture e geniali intuizioni


Ma sono davvero così soli i numeri primi ? Il romanzo di Paolo Giordano tocca uno dei temi più affascinanti della storia dell’uomo. Le prime tracce storiche che riconducono alla consapevolezza dei numeri primi risalgono già al paleolitico superiore: in un reperto rinvenuto nel 1960 nei pressi di Ishango, in Africa, figurano intaccature raggruppate secondo una serie di numeri primi. L’Osso di Ishango è datato tra il 20.000 e il 18.000 aC.

Il Papiro di Rhind, datato 1650 aC, mostra che anche gli egizi hanno sviluppato un metodo di espansione di alcune frazioni notevoli in somme di frazioni di numeri dispari da 5 a 101. Per ottenere questo risultato, gli egizi dovevano necessariamente essere coscienti della fattorizzabilità dei numeri interi e, quindi, dell’esistenza di alcuni numeri non fattorizzabili, cioè i numeri primi. La prima testimonianza formale sui numeri primi risale ad Euclide, che nel 300 aC ne diede una definizione rigorosa:

Numero primo è quello che è misurato soltanto dall’unità – (Euclide, 300 aC)

La definizione che adottiamo oggi è del tutto equivalente: un numero è detto primo se è divisibile per sé stesso e per 1.

Nei successivi 2200 anni i numeri primi resteranno un esercizio di pura matematica, pur aprendo questioni e congetture piuttosto interessanti. E’ solamente negli anni ’70 che si applica fattivamente la teoria relativa ai numeri primi per la crittografia dei dati con un metodo, noto come RSA, basato sulla fattorizzazione su numeri primi che siano più grandi possibile.

I numeri primi hanno impegnato i matematici nell’arco di venti secoli di storia, comprese menti eccelse del XIX secolo come Legendre, Gauss, Fermat e Riemann, perché presentano caratteristiche del tutto particolari. I numeri primi possono essere considerati come “mattoncini” per costruire tutti i numeri natuarli: un numero o è primo o è composto per prodotto di numeri primi (teorema fondamentale dell’aritmetica).

Ecco la serie dei primi fino a 103:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103

Il primo metodo noto per generare i numeri primi è il Crivello di Eratostene, che consente di trovare i primi minori di un numero intero dato. Ricordate ? Proprio l’Eratostene di Cirene che misurò il meridiano terrestre, ne parlammo nel post sul goniometro.

Osservando la serie dei numeri primi la prima cosa che balza all’occhio è che il solo primo pari è il 2, tutti gli altri sono necessariamente dispari. Si dimostra facilmente che non esistono numeri primi pari oltre al 2 perché tutti gli altri numeri pari sono – per definizione – divisibili per 2 e quindi non possono essere primi.

Ancora, man mano che si procede verso numeri sempre più grandi, i numeri primi sono sempre più distanti gli uni dagli altri. E’ il problema della distribuzione dei numeri primi da cui scaturiscono varie importanti domande, di cui tre significative. La prima domanda è:

i numeri primi sono infiniti ?

se i numeri primi sono sempre di meno, è lecito supporre che, andando verso l’infinito, ad un certo punto non se ne trovino più ? Fu lo stesso Euclide a dimostrare che i numeri sono infiniti, attraverso un procedimento molto sofisticato di dimostrazione per assurdo. Ne parleremo in un post ad-hoc.

La seconda domanda è, visto che i numeri primi si diradano sempre di più:

quanti numeri primi mi posso aspettare di trovare entro i primi numeri naturali ?

La risposta a questo quesito arrivò solamente nel XIX secolo, dapprima con una congettura dei matematici Legendre e Gauss, poi con la dimostrazione formale da Hadamard e de la Vallée-Poussin (dimostrarono che il numero di primi minore di x è proporzionale ad x e inversamente proporzionale al suo logaritmo).

E’ un risultato importante perché apre le porte ad una questione ancora irrisolta oggi. La terza domanda è:

dato un numero primo grande a piacere, quanto è distante il più vicino numero primo ?

Anche se i numeri primi sono sempre più “rarefatti”, al crescere verso l’infinto, ci sono coppie di numeri primi separate da un numero pari in mezzo. Queste coppie vengono dette numeri primi gemelli e sono distribuite in modo ancora non noto. Nei primi 103 numeri naturali si trovano i gemelli seguenti:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103)

Il primo a formulare la congettura di esistenza di un numero infinito di numeri primi gemelli fu lo stesso Euclide. La congettura dei primi gemelli resta, ancora oggi, da dimostrare.

Vedete la potenza delle questioni di scienza ? Dopo oltre due millenni, l’immagine di Paolo Giordano è fortemente evocativa: nell’infinità, esistono numeri primi gemelli separati da un solo numero e immersi in un mare di nulla, distantissimi da tutti gli altri. E’ il triste destino della solitudine dei numeri primi.

 

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5 risposte a La solitudine dei numeri primi: storie di ardite congetture e geniali intuizioni

  1. Pingback: Vero o falso ? La dimostrazione per assurdo. | LidiMatematici

  2. dante ha detto:

    utile ripasso che riporta con piacere il ricordo di anni passati.
    dante.

  3. Pingback: Numeri primi e fattorizzazione. | LidiMatematici

  4. Pingback: Un setaccio per i numeri primi: il Crivello di Eratostene | LidiMatematici

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